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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1l

Resolva a equação diferencial abaixo:

(d y)/(d x) = (1 + y^2)/(x) , x > 0

Passo 1

Para resolver a equação, precisamos adequá-la separando as variáveis, logo:

(d y)/(1 + y^2) = (d x)/(x)

Passo 2

Vamos integrar ambos os lados da equação e achar a relação entre y e x :

int (1)/(1 + y^2) d y = int (1)/(x) d x

Lembrando que:

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Logo:

a r c t g (y) = ln |x| + k

Visto que x > 0 :

a r c t g (y) = ln x + k

Vamos isolar x :

ln x = a r c t g (y) - k

Atenção:

e^(ln (x)) = x

Portanto:

x = e^(a r c t g (y) - k)

Resposta

x = e^(a r c t g (y) - k)

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