Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4e

Calcule.

int (x + 2)/((x + 1)^5) d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma manipulação na expressão:

int (x + 2)/((x + 1)^5) d x = int (x)/((x + 1)^5) + (2)/((x + 1)^5) d x = int (x)/((x + 1)^5) d x + int (2)/((x + 1)^5) d x

Vamos calcular as duas integrais separadamente, assim vai ficar melhor de visualizar.

Com a primeira:

int (x)/((x + 1)^5) d x

Bem, vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x + 1 -> x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x -> d u = d x

Fazendo a substituição:

int (x)/((x + 1)^5) d x = int (u - 1)/(u^5) d u

Agora vamos separar os termos da expressão da integral:

int (u - 1)/(u^5) d u = int (u)/(u^5) - (1)/(u^5) d u = int (1)/(u^4) - (1)/(u^5) d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (1)/(u^4) - (1)/(u^5) d u = int u^(- 4) - u^(- 5) d u = (u^(- 4 + 1))/(- 4 + 1) - (u^(- 5 + 1))/(- 5 + 1) + C =

= (u^(- 3))/(- 3) - (u^(- 4))/(- 4) + C = - (1)/(3 u^3) + (1)/(4 u^4) + C

Passo 3

Com a segunda:

int (2)/((x + 1)^5) d x

Aqui vamos usar também a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x -> d u = d x

Fazendo a substituição:

int (2)/((x + 1)^5) d x = 2 int (1)/((x + 1)^5) d x = 2 int (1)/(u^5) d u

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Por último é só aplicar:

2 int (1)/(u^5) d u = 2 (u^(- 5 + 1))/(- 5 + 1) + C = 2 (u^(- 4))/(- 4) + C = - (1)/(2 u^4) + C

Passo 4

Vamos agora juntar o resultado das duas integrais que achamos:

int (x + 2)/((x + 1)^5) d x = int (x)/((x + 1)^5) d x + int (2)/((x + 1)^5) d x = - (1)/(3 u^3) + (1)/(4 u^4) - (1)/(2 u^4) + C

= - (1)/(3 u^3) + (1 - 2)/(4 u^4) + C = - (1)/(3 u^3) - (1)/(4 u^4) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int (x + 2)/((x + 1)^5) d x = - (1)/(3 u^3) - (1)/(4 u^4) + C = - (1)/(3 (x + 1)^3) - (1)/(4 (x + 1)^4) + C

Resposta

int (x + 2)/((x + 1)^5) d x = - (1)/(3 (x + 1)^3) - (1)/(4 (x + 1)^4) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.31. ∫ x 3 d x x 2 - 1
Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.32. ∫ x d x 25 + 4 x 2
Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.28. ∫ ( 1 - x 2 ) 1 2 x 4d
Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.29. ∫ 8 d x ( 4 x 2 + 1 )
Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.30. ∫ 6 d t ( 9 t 2 + 1 )