Calculeint sqrt(3 - 4 x^2) d x

int sqrt(3 - 4 x^2) d x = (3)/(4) arcsin (2 x)/(sqrt(3)) + (1)/(2) x sqrt(3 - 4 x^2) + k

Enunciado

A função dentro da integral é:

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale , e um dos catetos vale , concorda comigo que o outro vai valer ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que então

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Sabemos que , então:

Se dissermos que , assim:

Agora sabemos resolver:

Voltando pra variável :

Agora precisamos voltar pra variável , pra isso vamor lembrar que:

E que:

Assim:

Temos, então:

Lembrando sempre da constante: