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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 13

Se a = (1,2 , 1) e b = ( 0,1 , 3 ) , calcule a xx b e b xx a .

Passo 1

Para calcularmos o produto vetorial de dois vetores u e v , fazemos o seguinte:

u = ( u_x , u_y , u_z ) e v = ( v_x , v_y , v_y )

Então o produto vetorial fica:

u xx v = |[[i,j,k],[u_x,u_y,u_z],[v_x,v_y,v_z]]|

Portanto,

u xx v = (u_y v_z - u_z v_y) hat i - (u_x v_z - u_z v_x) hat j + (u_x v_y - u_y v_x) hat k

Passo 2

Vamos começar por a xx b :

a xx b = |[[hat i,hat j,hat k],[1,2,1],[0,1,3]]|

Logo,

a xx b = |[[2,1],[1,3]]| hat i - |[[1,1],[0,3]]| hat j + |[[1,2],[0,1]]| hat k

Fazendo as contas:

a xx b = |[[hat i,hat j,hat k],[1,2,1],[0,1,3]]| = (2 * 3 - 1 * 1) hat hat i - ( 1 * 3 - 1 * 0 ) hat j + (1 * 1 - 2 * 0) hat k

Fazendo as contas:

a xx b = 5 hat i - 3 hat j + 1 hat k

Portanto,

a xx b = ( 5 , - 3,1 )

Passo 3

Agora vamos para b xx a :

b xx a = |[[hat i,hat j,hat k],[0,1,3],[1,2,1]]| = |[[1,3],[2,1]]| hat i - |[[0,3],[1,1]]| hat j + |[[0,1],[1,2]]| hat k

Fazendo as contas:

b xx a = |[[hat i,hat j,hat k],[0,1,3],[1,2,1]]| = ( 1 * 1 - 3 * 2 ) hat i - ( 0 * 1 - 3 * 1 ) hat j + ( 0 * 2 - 1 * 1 ) hat k

b xx a = |[[hat i,hat j,hat k],[0,1,3],[1,2,1]]| = - 5 hat i + 3 hat j - 1 hat k

Então,

b xx a = ( - 5,3 , - 1 )

OBS: repare que a xx b = - b xx a , como diria o Teorema 8

Resposta

a xx b = ( 5 , - 3,1 )

b xx a = ( - 5,3 , - 1 )

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