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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 26

Demonstre a Propriedade 4 do Teorema 8.

Passo 1

A Propriedade 1 diz o seguinte:

(a + b) xx c = a xx c + b xx c

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = ( a_1 , a_2 , a_3 )

Nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

E nosso vetor c como sendo

c = ( c_1 , c_2 , c_3 )

Assim,

(a + b) = (a_1 + b_1 , a_2 + b_2 , a_3 + b_3)

Passo 2

Agora vamos fazer a xx (b + c) :

(a + b) xx c = |[[i,j,k],[a_1,+,b_1,a_2,+,b_2,a_3,+,b_3],[c_1,c_2,c_3]]| = |[[a_2,+,b_2,a_3,+,b_3],[c_2,c_3]]| i - |[[a_1,+,b_1,a_3,+,b_3],[c_1,c_3]]| j + |[[a_1,+,b_1,a_2,+,b_2],[c_1,c_2]]| k

a xx (b + c) = (a_2 c_3 + b_2 c_3 - a_3 c_2 - b_3 c_2) i - ( a_1 c_3 + b_1 c_3 - a_3 c_1 - b_3 c_1 ) j + ( a_1 c_2 + b_1 c_2 - a_2 c_1 - b_2 c_1 ) k

a xx (b + c) = (a_2 c_3 + b_2 c_3 - a_3 c_2 - b_3 c_2 , - a_1 c_3 - b_1 c_3 + a_3 c_1 + b_3 c_1 , a_1 c_2 + b_1 c_2 - a_2 c_1 - b_2 c_1)

Passo 3

Agora vamos fazer b xx c :

b xx c = |[[i,j,k],[b_1,b_2,b_3],[c_1,c_2,c_3]]| = |[[b_2,b_3],[c_2,c_3]]| i - |[[b_1,b_3],[c_1,c_3]]| j + |[[b_1,b_2],[c_1,c_2]]| k

b xx c = |[[i,j,k],[b_1,b_2,b_3],[c_1,c_2,c_3]]| = (b_2 c_3 - b_3 c_2) i - ( b_1 c_3 - b_3 c_1 ) j + ( b_1 c_2 - b_2 c_1 ) k

b xx c = (b_2 c_3 - b_3 c_2 , - b_1 c_3 + b_3 c_1 , b_1 c_2 - b_2 c_1)

Passo 4

E, por fim, vamos fazer a xx c :

a xx c = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[c_1,c_2,c_3]]| = |[[a_2,a_3],[c_2,c_3]]| i - |[[a_1,a_3],[c_1,c_3]]| j + |[[a_1,a_2],[c_1,c_2]]| k

a xx c = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[c_1,c_2,c_3]]| = (a_2 c_3 - a_3 c_2) i - ( a_1 c_3 - a_3 c_1 ) j + ( a_1 c_2 - a_2 c_1 ) k

a xx c = (a_2 c_3 - a_3 c_2 , - a_1 c_3 + a_3 c_1 , a_1 c_2 - a_2 c_1)

Passo 5

Assim, temos que

(a + b) xx c = (a_2 c_3 + b_2 c_3 - a_3 c_2 - b_3 c_2 , - a_1 c_3 - b_1 c_3 + a_3 c_1 + b_3 c_1 , a_1 c_2 + b_1 c_2 - a_2 c_1 - b_2 c_1) = (a_2 c_3 - a_3 c_2 , - a_1 c_3 + a_3 c_1 , a_1 c_2 - a_2 c_1) + (b_2 c_3 - b_3 c_2 , - b_1 c_3 + b_3 c_1 , b_1 c_2 - b_2 c_1) = a xx c + b xx c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o produto escalar de dois vetores cujas normas sejam respectivamente 6 e 1 3 tal que o ângulo entre eles seja π / 4 .
Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido? Explique. a ⋅ b ⋅ c ( a ⋅b )c a b ⋅ c a ⋅ ( b + c ) a ⋅b+ c a ⋅ b + c
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =3 ,1b =- 2,4 , 3
Determinea . b para | a | = 6 e | b | = 5 , e o ângulo entre a e b é 2 pi // 3
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =4,0 , 2b =2 , - 1,0