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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 24

Demonstre a Propriedade 2 do Teorema 8.

Passo 1

A Propriedade 1 diz o seguinte:

(c a) xx b = c (a xx b) = a xx ( c b )

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = ( a_1 , a_2 , a_3 )

E nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

Assim,

(c a) xx b = |[[i,j,k],[c,a_1,c,a_2,c,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = |[[c,a_2,c,a_3],[b_2,b_3]]| i - |[[c,a_1,c,a_3],[b_1,b_3]]| j + |[[c,a_1,c,a_2],[b_1,b_2]]| k

(c a) xx b = |[[i,j,k],[c,a_1,c,a_2,c,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = (c a_2 b_3 - c a_3 b_2) i - ( c a_1 b_3 - c a_3 b_1 ) j + ( c a_1 b_2 - c a_2 b_1 ) k

(c a) xx b = (c a_2 b_3 - c a_3 b_2 , - c a_1 b_3 + c a_3 b_1 , c a_1 b_2 - c a_2 b_1)

Passo 2

Agora vamos fazer c (a xx b) :

c (a xx b) = c |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = c |[[a_2,a_3],[b_2,b_3]]| i - c |[[a_1,a_3],[b_1,b_3]]| j + c |[[a_1,a_2],[b_1,b_2]]| k

c (a xx b) = c |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = c (a_2 b_3 - a_3 b_2) i - c ( a_1 b_3 - a_3 b_1 ) j + c ( a_1 b_2 - a_2 b_1 ) k

c (a xx b) = c (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1)

Passo 3

E, por fim, vamos fazer a xx ( c b ) :

a xx (c b) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[c,b_1,c,b_2,c,b_3]]| = |[[a_2,a_3],[c,b_2,c,b_3]]| i - |[[a_1,a_3],[c,b_1,c,b_3]]| j + |[[a_1,a_2],[c,b_1,c,b_2]]| k

a xx (c b) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[c,b_1,c,b_2,c,b_3]]| = (a_2 c b_3 - a_3 c b_2) i - ( a_1 c b_3 - a_3 c b_1 ) j + ( a_1 c b_2 - a_2 c b_1 ) k

a xx (c b) = (a_2 c b_3 - a_3 c b_2 , - a_1 c b_3 + a_3 c b_1 , a_1 c b_2 - a_2 c b_1)

Passo 4

Assim, temos que

(c a) xx b = (c a_2 b_3 - c a_3 b_2 , - c a_1 b_3 + c a_3 b_1 , c a_1 b_2 - c a_2 b_1) = c (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1) = c (a xx b) = (a_2 c b_3 - a_3 c b_2 , - a_1 c b_3 + a_3 c b_1 , a_1 c b_2 - a_2 c b_1) = a xx (c b)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Escrever enunciado aqui
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =3 , - 1,5b =- 2,4 , 3
Escrever enunciado aqui
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =- 8,6b =7 ,- 3
Determine a . b para | a | = 3 e | b | = sqrt(6) , e o ângulo entre a eb é 45 °