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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1f

Calcule:

int_0^(+ oo) t e^(- s t) d t ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) t e^(- s t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A t e^(- s t) d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a integração por partes

int f * g^' d t = f * g - int f^' * g d t

Neste caso nossas funções são

{[[f = t],[g^' = e^(- s t)]]) -> (f^' = 1)/(g = - (e^(- s t))/(s))

Para encontrar g , fazemos a substituição

{[[u = - s t],[d u = - s d t => d t = (d u)/(- s)]])

E temos

int e^(- s t) d t = int e^u (d u)/(- s)

= - (e^u)/(s) + C = - (e^(- s t))/(s) + C

Então

int t e^(- s t) d t = - (t e^(- s t))/(s) - int (- (e^(- s t))/(s)) d t

= - (t e^(- s t))/(s) + (1)/(s) int e^(- s t) d t = - (t e^(- s t))/(s) - (e^(- s t))/(s^2) + C

Voltando ao limite

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A t e^(- s t) d t = underset(A -> + oo)(lim) [- (t e^(- s t))/(s) - (e^(- s t))/(s^2)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (t)/(s e^(s t)) - (1)/(s^2 e^(s t))]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

underset(A -> + oo)(lim) [- (t)/(s e^(s t)) - (1)/(s^2 e^(s t))]_0^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/(s e^(s A)) - (1)/(s^2 e^(s A)) + (0)/(s e^0) + (1)/(s^2 e^0)]

= underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/(s e^(s A)) - (1)/(s^2 e^(s A)) + (1)/(s^2)]

Utilizando a propriedade do limite para dividir em uma soma de limites temos

= - underset(A -> + oo)(lim) (A)/(s e^(s A)) - underset(A -> + oo)(lim) (1)/(s^2 e^(s A)) + 1

Para o segundo limite, não precisamos de muita análise, ele vai para zero, mas para calcular o primeiro, vamos usar L’Hospital, então focando somente nesse limite

underset(A -> + oo)(lim) (A)/(s e^(s A)) = underset(A -> + oo)(lim) (1)/(s^2 e^(s A)) = 0

Então temos que

underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/(s e^(s A)) - (1)/(s^2 e^(s A)) + (1)/(s^2)] = (1)/(s^2)

Resposta

(1)/(s^2)

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