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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 68

Calcule o centroide da região infinita no primeiro quadrante entre a curva y = e - x e o eixo x

Passo 1

Temos que o centroide de uma região plana de área A é dada por:

x - = ∫ a b x   f x   d x A

e

y - = ∫ a b y   f x   d x A  

Encontramos no exercício anterior que a área é igual a 1, então vamos substituir e resolver.

Passo 2

x - = ∫ a b x   f x   d x A = ∫ 0 ∞ x   e - x   d x   1 =   - x e - x - e - x ] ∞ 0 =   lim b → ∞ ⁡ - x e - x - e - x ] b 0 =   l i m b → ∞ - b e - b - e - b - ( 0 e - x 0 - e 0 ) = 1

y - = ∫ a b y   f x   d x A =   ∫ 0 ∞ e - x 2   d x 1 = - 1 2 e - 2 x ] ∞ 0 = l i m b → ∞ - 1 2 e - 2 x ] b 0 = l i m b → ∞ - 1 2 e - 2 b - ( 1 2 e 0 = 1 2

Esse é o nosso centroide.

Resposta

x - = 1 y - = 1 2

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