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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1m

Calcule:

int_2^(+ oo) (1)/(x^2 - 1) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_2^(+ oo) (1)/(x^2 - 1) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_2^A (1)/(x^2 - 1) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a expansão por frações parciais

underset(A -> + oo)(lim) int_2^A (1)/(x^2 - 1) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_2^A (1)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) d x

Então vamos expandir

(1)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) = (A)/(x - 1) + (B)/(x + 1) = (A (x + 1) + B ( x - 1 ))/(( x - 1 ) ( x + 1 ))

E tiramos a igualdade

A (x + 1) + B (x - 1) = 1

E isso vale para todo x in R , portanto vale para x = 1

2 A = 1

A = (1)/(2)

E vale também para x = - 1

- 2 B = 1

B = - (1)/(2)

Logo, temos a igualdade

(1)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) = (1)/(2) * (1)/(x - 1) - (1)/(2) * (B)/(x + 1)

Passo 3

Na integral

underset(A -> + oo)(lim) int_2^A (1)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) d x = underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(2) int_2^A (1)/(x - 1) d x - (1)/(2) int_2^A (1)/(x + 1) d x]

= underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(2) ln (x - 1) - (1)/(2) ln (x + 1)]_2^A

Passo 4

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(2) ln (A - 1) - (1)/(2) ln (A + 1) - (1)/(2) ln (2 - 1) + (1)/(2) ln (2 + 1)]

Podemos colocar 1 // 2 em evidência e nos dois primeiros logaritmos, usar a propriedade ln ( a // b ) = ln a - ln b

= (1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) [ln ((A - 1)/(A + 1)) - ln 1 + ln 3] = (ln 3)/(2) + underset(A -> + oo)(lim) ln ((A - 1)/(A + 1))

Como o logaritmo é uma função continua para um argumento maior que zero e o argumento neste caso é positivo, podemos colocar o limite para dentro

= (ln 3)/(2) + ln (underset(A -> + oo)(l i m) (A - 1)/(A + 1)) = (ln 3)/(2) + ln (underset(A -> + oo)(l i m) (A (1 - (1)/(A)))/(A (1 + (1)/(A))))

= (ln 3)/(2) + ln (1) = (ln 3)/(2)

Resposta

(ln 3)/(2)

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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