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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 18

Calcule

∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z

Onde C é a curva r → t = s e n t ,   c o s t , sen ⁡ 2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π . (Sugestão: observe que C está na superfície z = 2 x y )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Ela diz para calcular a integral de linha

∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z

Onde C é a curva

r → t = s e n t ,   c o s t ,   2 t

0 ≤ t ≤ 2 π

E ela dá uma dica que que C está na superfície z = 2 x y

Nessa questão, será mais fácil usar o Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

Sendo

∇ × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Seguiremos esse caminho:

Vamos começar achando o nosso campo vetorial F → ;

Calcularemos o rotacional de F → ;

Acharemos a curva C ;

Realizaremos o produto escalar ∇ × F → ⋅ n → ;

Acharemos os limites de integração e d A ;

Montaremos a integral e resolveremos.;

Vamos lá?

Passo 2

Vamos reescrever essa integral como o produto escalar entre um vetor F → e um diferencial d r → .

Temos

∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z

Perceba bem, temos que cada componente do campo vetorial F → = F x , F y , F z está sendo multiplicado por um diferencial diferente 🤣 Isso é exatamente um produto escalar entre um vetor desses diferenciais e o campo vetorial. Assim:

y + s e n x , z 2 + c o s y , x 3 ⋅ d x , d y , d z

Então, podemos escrever

∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z = ∫ C y + s e n x , z 2 + c o s y , x 3 ⋅ d x , d y , d z

Então o campo vetorial é

F → = y + s e n x , z 2 + c o s y , x 3

Como vamos usar

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

Nosso próximo passo é determinar o rotacional do campo F → .

Passo 3

Vamos aplicar o rotacional em

F → = y + s e n x , z 2 + c o s y , x 3

Temos então que:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y + s e n x z 2 + c o s y 3 y

∇ × F → =

i → ∂ ∂ y x 3 - ∂ ∂ z z 2 + c o s y

+ j → ∂ ∂ z y + s e n x - ∂ ∂ x x 3

+ k → ∂ ∂ x ( z 2 + c o s y ) - ∂ ∂ y ( y + s e n x )

Fazendo as derivadas parciais, primeiro para i → :

i → ∂ ∂ y x 3 - ∂ ∂ z z 2 + c o s y = - 2 z i →

Agora para j → :

j → ∂ ∂ z y + s e n x - ∂ ∂ x x 3 = 3 x 2 j →

E para k → :

k → ∂ ∂ x ( z 2 + c o s y ) - ∂ ∂ y ( y + s e n x ) = 1 k →

Juntando tudo, temos que

∇ × F → = - 2 z i → + 3 x 2 j → + 1 k →

Que é a mesma coisa que

∇ × F → = - 2 z , 3 x 2 , 1

Passo 4

Agora precisamos de um vetor normal à superfície S . A curva C está na superfície z = 2 x y , então é essa a superfície S que queremos.

A função z = g x , y é:

z = g x , y = 2 x y

E o vetor normal à superfície é:

n → = - ∂ g ∂ x ,   - ��� g ∂ y ,   1

Aplicando na função g temos:

n → = - 2 y , - 2 x , 1

Passo 5

Quase lá! Agora vamos calcular o integrando ∇ × F → ⋅ n → :

∇ × F → ⋅ n → = - 2 z , 3 x 2 , 1 ⋅ - 2 y , - 2 x , 1

∇ × F → ⋅ n → = 4 z y - 6 x 3 + 1

E a região de integração? Bom, olhando para a curva r → ( t ) , no plano x y , vemos que a região é um círculo de raio 1 . Então uma parametrização é:

x = 1 c o s θ y = 1 s e n θ z = 2 x y = 2 s e n θ c o s θ

Com θ entre

0 ≤ θ ≤ 2 π  

e r entre

0 ≤ r ≤ 1

E o diferencial de área é

d A = r d r d θ

Substituindo x , y , z no integrando com novas variáveis:

∇ × F → ⋅ n → = 4 z y - 6 x 3 + 1

Aplicando

x = 1 c o s θ y = 1 s e n θ z = 2 s e n θ c o s θ

Temos

∇ × F → ⋅ n → = 8 s e n 2 θ c o s θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 1

Pronto! Agora que temos o integrando e a região de integração, podemos calcular a integral!

Passo 6

Do Teorema de Stokes:

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 8 s e n 2 θ c o s θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 1 ) r d r d θ

Integrando com respeito a r   temos:

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 2 π 8 s e n 2 θ c o s θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 1 r 2 2 0 1 d θ

Aplicando os limites:

∫ 0 2 π 8 s e n 2 θ c o s θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 1 r 2 2 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 1 2   8 s e n 2 θ c o s θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 1 d θ

Agora integrando em relação à θ e olhando uma tabela de integrais temos:

∫ 0 2 π 1 2   8 s e n 2 θ c o s θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 1 d θ = 4 s e n 3 θ 3 0 2 π - 3 9 12 s e n θ + 1 12   s e n 3 θ 0 2 π + θ 2 0 2 π

Os dois primeiros termos do lado direito são nulos, pois a função s e n θ é zero em ambos os extremos. Então ficamos só com o último termo:

4 s e n 3 θ 3 0 2 π - 3 9 12 s e n θ + 1 12   s e n 3 θ 0 2 π + θ 2 0 2 π = θ 2 0 2 π

Aplicando os limites:

θ 2 0 2 π = 2 π 2 = π

Portanto,

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = π

Resposta

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ C F → ⋅ d r → = π

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