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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 4

4. Seja F x ,   y ,   z = ( x z 2 , z 4   , y z ) e seja σ a superfície   x 2 +   y 2 +   z 2 =   4 , com   2   ≤   z   ≤ 3 , com normal apontando para cima. Utilizando o exercício anterior, calcule

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S  

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Então o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z x z ² z 4 y z

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = z - 4 z 3 ,   2 x z , 0

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

x 2 +   y 2 +   z 2 =   4

  2   ≤   z   ≤ 3

Entao a normal fica

n → = 2 x , 2 y , 2 z 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 → 2 x , y , z 2 x 2 + y 2 + z 2

Vamos usar a equação da esfera para simplificar nosso problema

n → = x , y , z 4

Passo 3

Vamos unir isso a nossa integração

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Vamos unir isso a nossa integração

∫ ∫ σ   z - 4 z 3 ,   2 x z , 0 ⋅   x , y , z 2   d S

1 2 ∫ ∫ σ   ( z - 4 z 3 ) x + 2 x y z   d S

Entao num impasse afinal temos que calcular a integral com apenas 2 variaveis, e estamos integrando 3. Vamos resolver isso substituindo z pela equação da esfera

x 2 +   y 2 +   z 2 =   4

z = 4 - x 2 - y ²  

Com isso nossa integral fica

1 2 ∫ ∫ σ   ( 4 - x 2 - y 2 1 / 2     - 4 4 - x 2 - y 2 3 / 2 ) x + 2 x y 4 - x 2 - y 2 1 / 2   d S

Ficamos com uma equação enorme. O lado positivo é que estamos numa região circular, logo podemos usar coordenadas polares. Lembrando que

x 2 + y 2 = r 2

J = r

x = r cos ⁡ t

y = r sin ⁡ t

Logo a integral fica

1 2 ∫ ∫ σ   4 - r 2 1 2     - 4 4 - r 2 3 2 r cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t s e n   t 4 - r 2 1 / 2 r d r d t  

E nossa região de integração é

0 < t < 2 π

1 < r < 2

Por fim, vamos integrar

∫ 0 2 π ∫ 1 2 4 - r 2 1 2     - 4 4 - r 2 3 2 r cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t s e n   t 4 - r 2 1 / 2 r d r d t

∫ 0 2 π ∫ 1 2 4 - r 2 1 2     - 4 4 - r 2 3 2 r cos ⁡ t + s e n   2 t   4 - r 2 1 / 2 r d r d t

Felizmente, as funções seno e cossenos elevados a um expoente impar tem a mesma quantidade de área acima e abaixo do eixo y. Logo no intervalo de um ciclo – como por exemplo 0,2 π elas se anulam. E a mesma coisa vale para nossa função s e n   2 t   .Logo

∫ 0 2 π ∫ 1 2 4 - r 2 1 2     - 4 4 - r 2 3 2 r cos ⁡ t + s e n   2 t   4 - r 2 1 / 2 r d r d t = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0  

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Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F .d r . Em cada caso, C é orientado no sentido anti-horário visto de cima.10- F x , y , z = x i + y j + x 2 + y 2 k , C é a fronteira da parte do paraboloide
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 2- F x , y , z = y zi + x zj + x yk S é a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 que está acima do plano z = 5 , com orientação para cima.
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 3- F x , y , z = x 2 e y z i + y 2 e x z j + z 2 e x y k , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 0 , com orientação para cima.
17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera x 2 + y
16-Seja F x , y , z =a x 3 - 3 x z 2 , x 2 y + b y 3 , c z 3 Seja C a curva do Exercício 12 e considere todas as possíveis superfícies lisas S cuja curva fronteira é C . Ache os valores de a , b e c p