Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 13

13. Seja F um campo de classe C1 num aberto contendo a fronteira docubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1. Seja a normal apontando parafora do cubo. Mostre que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

(Sugestão: Aplique o teorema de Stokes a cada face e some.)

Passo 1

Vamos ser sagazes agora. Nossa superfície é fechada. Então a pergunta é o que fazer ? Poderíamos realmente calcular o fluxo dessa função , mas vou te ensinar um truque. O teorema de Gauss

∫ ∫ σ   F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F → d V  

Ou seja o fluxo de vetores que atravessa a superfície é igual a fonte desses vetores dentro do volume interior a essa superfície. De um jeito simples é que iguala o fluxo a sua fonte. E por isso a região tem que ser fechada. Para não ter nenhum “vazamento de fluxo”.

NO nosso caso temos uma superfície fechada então vamos aplicar Gauss aqui. Com um truque, vamos substituir

F → ∇ × F →

Afinal esse F do teorema é genérico. Então ficamos com

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V  

E uma propriedade importante é que

∇   .     ∇ × A → = 0

Para qualquer que seja essa função vetorial. Logo temos que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k C é a fronteira de parte do parabo
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S F x , y , z = e x y i + e x z j + x 2 z k S é metade do elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 está à direita do plano x z , orientado na direção pos
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r , onde F x , y , z = x 2 y i + 1 3 x 3 j + x y k e C é a curva resultante do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 e o cilindro x 2 + y 2 = 1 , orient
Calcule ∫ C y + sen ⁡ x d x + z 2 + cos ⁡ y d y + x 3 d z Onde C é a curva r t = sen ⁡ t , cos ⁡ t , sen ⁡ 2 t ,0 ≤ t ≤ 2 π . (Dica: observe que C está na superfície z = 2 x y )
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = i + ( x + y z ) j + ( x y - z ) k C é a fronteira de parte do pl