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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 21

  1. Calcule as aproximações T 10 e S 10 para

    2. ∫ 0 1 e x d x

    e os erros correspondentes E r   e   E s .

  2. Compara os erros reais da parte ( a ) com as estimativas de erro dadas por 3 e ( 4 ) .
  3. Qual o tamanho de n que devemos escolher para que as aproximações T n   ,   M n   e   S n para a integral na parte ( a ) tenham uma precisão de 0,00001 ?

Passo 1

Para utilizar cada um desses métodos (só aplicar na fórmula presente do livro) vamos utilizar os seguintes parâmetros

f x = e x   e   ∆ x = 1 10

T 10 = 1 10 ⋅ 2 ⋅ f 0 + 2 ⋅ f 0,1 + f 0,2 + … + f 0,9 + f 1 ≈ 1,71971349

S 10 = 1 10 ⋅ 3 ⋅ f 0 + 4 f 0,1 + 2 f 0,2 + 4 f 0,3 + … + 4 f 0,9 + f ( 1 ) ≈ 1,71828278

Seus respectivos erros serão:

I = ∫ 0 1 e x d x ≈ 1,71828183

E t = I - T 10 ≈ - 0,00143166

E s = I - S 10 ≈ - 0,00000095

Passo 2

As estimativas de erro utilizando os métodos 3 e 4 necessitam de alguns parâmetros, para isso, vamos tomar os seguintes parâmetros

k = e ,   a = 0   e   b = 1

Assim, teremos

E t ≤ e ⋅ 1 3 12 ⋅ 10 2 ≈ 0,002265

Agora, utilizando o teorema 4 vamos ter

E s ≤ e ⋅ 1 5 180 ⋅ 10 4 ≈ 0,0000015

Esses erros estimados são maiores que os erros reais.

Passo 3

Da parte ( b ) vamos tomar os mesmos valores, porém, sem contar o n pois é ele que queremos descobrir. Assim, teremos

E t ≤ k ⋅ b - a 3 12 n 2 < 0,00001 → n 2 ≥ e 12 ⋅ 0,00001 → n ≥ 105,5 ≈ 151

Agora, para o método de Simpsons teremos

E s ≤ k ⋅ b - a 5 180 n 4 ≤ 0,00001 → n 4 ≥ e 180 ⋅ 0,00001 → n ≥ 6,23

Tomaremos, então, n = 8   para esse método.

Resposta

a T 10 = 1,71971349   ,   S 10 = 1,71828278 ,   E t = - 0,00143166     e   E s = - 0,00000095

b T e o r e m a   3   : 0,002265   e   T e o r e m a   4 : 0,0000015

c S n → n = 8   e   T n → n = 151

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