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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.7 - Ex. 13

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 0 4 e t sen ⁡ t d t , n = 8

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 4 , e vamos usar n = 8 , e com f x = e t sen ⁡ t temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 4 - 0 8 = 1 2

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 8 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 1 2 + 2 f 1 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 3 + 2 f 7 2 + f 4 = 1 2 ∙ 1 2 f 0 + 2 f 1 2 + 2 f 1 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 3 + 2 f 7 2 + f 4 ≈ 4,513618

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 8 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    3. M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 8 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 4 + f 3 4 + f 5 4 ∙ ∙ ∙ + f 13 4 + f 15 4 1 2 ≈ 4,748256

    Passo 3

  3. Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 8 = f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + 4 f 3 2 + ∙ ∙ ∙ + 4 f 7 2 + f 4 ∆ x 3 = f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + 4 f 3 2 + ∙ ∙ ∙ + 4 f 7 2 + f 4 1 3 . 1 2 ≈ 4,675111

Resposta

  1. T 8 ≈ 4,513618
  2. M 8 ≈ 4,748256
  3. S 8 ≈ 4,675111
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