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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.7 - Ex. 15

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 1 5 cos ⁡ x x d x , n = 8

Passo 1

  1. Temos o intervalo 1 ≤ x ≤ 5 , e vamos usar n = 8 , e com f x = cos ⁡ x x temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 5 - 1 8 = 1 2

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 8 = 1 2 ∆ x f 1 + 2 f 3 2 + 2 f 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 + 2 f 9 2 + f 5 = 1 2 ∙ 1 2 f 1 + 2 f 3 2 + 2 f 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 + 2 f 9 2 + f 5 ≈ - 0,495333

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 8 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    3. M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 8 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 5 4 + f 7 4 + f 9 4 ∙ ∙ ∙ + f 17 4 + f 19 4 1 2 ≈ - 0,543321

    Passo 3

  3. Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 8 = f 1 + 4 f 3 2 + 2 f 2 + 4 f 5 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 + 4 f 9 2 + f 5 ∆ x 3 = f 1 + 4 f 3 2 + 2 f 2 + 4 f 5 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 + 4 f 9 2 + f 5 1 3 . 1 2 ≈ - 0,526123

Resposta

  1. T 8 ≈ - 0,495333
  2. M 8 ≈ - 0,543321
  3. S 8 ≈ - 0,526123
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