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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 19

  1. Calcule as aproximações T 8 e M 8 para a integral ∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x .
  2. Estime os erros nas aproximações na parte (a).
  3. Que tamanho de n devemos escolher para que as aproximações T n e M n para a integral na parte (a) tenham uma precisão de 0,0001 ?

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 , e vamos usar n = 8 , e com f x = cos ⁡ x 2 temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 1 - 0 8 = 1 8

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 8 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 1 8 + 2 f 2 8 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 6 8 + 2 f 7 8 + f 1 = 1 2 ∙ 1 8 f 0 + 2 f 1 8 + 2 f 2 8 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 6 8 + 2 f 7 8 + f 1 ≈ 0,902333

    Passo 2

    Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 8 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 8 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 16 + f 3 16 + f 5 16 ∙ ∙ ∙ + f 13 16 + f 15 16 1 8 ≈ 0,905620

    Passo 3

  2. Para estimar os erros vamos usar as fórmulas dos erros nas Regras do Trapézio e do Ponto Médio:

    3. E T ≤ K b - a 3 12 n 2

    E M ≤ K b - a 3 24 n 2

    Onde K ≥ f ' ' x e a ≤ x ≤ b , vamos então achar f ' ' x :

    f ' x = cos ⁡ x 2 ' = - sen ⁡ x 2 . 2 x = - 2 x sen ⁡ x 2

    f ' ' x = - 2 x sen ⁡ x 2 ' = - 2 sen ⁡ x 2 + - 2 x cos ⁡ x 2 . 2 x = - 2 sen ⁡ x 2 - 4 x 2 cos ⁡ x 2

    Para 0 ≤ x ≤ 1 , seno e cosseno são positivos, então:

    f ' ' x = 2 sen ⁡ x 2 + 4 x 2 cos ⁡ x 2 ≤ 2 ∙ 1 + 4 ∙ 1 ∙ 1 = 6 = K

    Podemos pegar qualquer valor para K maior de 6 , mas o menor valor possível vai dar uma melhor estimativa para os erros. Temos n = 8 , a = 0 e b = 1 , vamos substituir nas fórmulas dos erros então:

    E T ≤ K b - a 3 12 n 2 ≤ 6 1 - 0 3 12 ∙ 8 2 = 1 128 = 0,0078125

    E M ≤ K b - a 3 24 n 2 ≤ 6 1 - 0 3 24 ∙ 8 2 = 1 256 = 0,00390625

    Passo 4

  3. Aqui queremos achar o valor de n para ter uma precisão de 0,0001 , vamos então aplicar nas fórmulas:

E T ≤ K b - a 3 12 n 2 ≤ 0,0001 ↔ 6 1 - 0 3 12 n 2 ≤ 10 - 4 ↔ 1 2 n 2 ≤ 1 10 4 ↔ 10 4 ≤ 2 n 2 ↔ n 2 ≥ 5000 ↔ n ≥ 71  

E M ≤ K b - a 3 24 n 2 ≤ 0,0001 ↔ 6 1 - 0 3 24 n 2 ≤ 10 - 4 ↔ 1 4 n 2 ≤ 1 10 4 ↔ 10 4 ≤ 4 n 2 ↔ n 2 ≥ 2500 ↔ n ≥ 50  

Resposta

  1. T 8 ≈ 0,902333 e M 8 ≈ 0,905620
  2. E T = 0,0078125 e E M = 0,00390625
  3. Para T n devemos ter n = 71 , para M n devemos ter n = 50
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