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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 4

Calcule a área da região delimitada pela elipse

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = int int_B d x d y

Ou:

A = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como uma elipse de eixos dados por 2 a e 2 b . Visto que a > 0 e b > 0 :

- a <= x <= a

- b <= y <= b

Assim, fazendo:

(x)/(a) = rho c o s theta

(y)/(b) = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[a,c,o,s,theta,-,a,rho,s,e,n,theta],[b,s,e,n,theta,b,rho,c,o,s,theta]]| = a b rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta)

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = a b rho

Portanto:

d x d y = a b rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é uma elipse de eixos a e b , então as novas variáveis serão dadas por:

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 -> ((a rho c o s theta)^2)/(a^2) + ((b rho s e n theta)^2)/(b^2) = 1 :. rho = 1

Com isso:

0 <= rho <= 1

E

0 <= theta <= 2 pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 1 e 0 <= theta <= 2 pi}

Logo, a área será dada por:

A = int_0^b [int_0^a d x] d y = int_0^(2 pi) [int_0^1 a b rho d rho] d theta

Resolvendo a integral em relação à y :

A = a b int_0^(2 pi) [(rho^2)/(2)] | [[1],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

A = a b int_0^(2 pi) [(1)/(2)] d theta

Passo 3

Agora, integrando em relação à theta :

A = (a b)/(2) [theta] | [[2,pi],[0]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

A = a b pi

Resposta

a b pi

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