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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 2b

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 1 ] , y varia de 0 a sqrt(x - x^2) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= sqrt(x - x^2)}

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo. Então, fazendo:

y = sqrt(x - x^2) -> x^2 - x + y^2 = 0 -> (x - (1)/(2))^2 + y^2 = ((1)/(2))^2

Logo:

x - (1)/(2) = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d y d x = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d y d x = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando y = 0 -> rho = 0

Quando y = sqrt(x - x^2) -> rho = (1)/(2)

Quando x = 0 -> rho = - (1)/(2 c o s theta)

Quando x = 1 -> rho = (1)/(2 c o s theta)

E:

0 <= theta <= pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= (1)/(2) e 0 <= theta <= pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (x) d y d x = int int_B_rho theta (rho c o s theta + (1)/(2)) rho d rho d theta

= int_0^(pi) [int_0^(1 // 2) (rho^2 c o s theta + (rho)/(2)) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_0^(pi) [(rho^3)/(3) c o s theta + (rho^2)/(4)] | [[1,//,2],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= int_0^(pi) [(1)/(24) c o s theta + (1)/(16)] d theta

Passo 4

Resolvendo a integral:

= [(1)/(24) s e n theta + (1)/(16) theta] | [[pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (pi)/(16)

Resposta

(pi)/(16)

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Calcular a área da região R mostrada na Figura 7.55.
Calcular a área da região delimitada por y= 4 - x 2 ,y = x,y = 2 x
Calcular a área da região delimitada por y = 2 - (x - 2)^2 , y = (x^2)/(4)
Calcular a área da região delimitada por y= e x - 1 ,y = x ,x = 0
Mostrar que as regiões R_1 e R_2 , têm a mesma área