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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1l

Calcule

l) int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 - y^2 <= z <= 1 - 2 * y^2 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B x * d x * d y * d z = int int_K x * [int_(x^2 - y^2)^(1 - 2 * y^2) d z] * d x * d y

Para encontrarmos o domínio em K , precisamos fazer a intersecção entre os dois limites de z , assim chegaremos que nosso K é x^2 - y^2 = 1 - 2 * y^2 -> x^2 + y^2 = 1 . Aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = rho * cos theta

y = rho * sin theta

0 <= theta <= 2 * pi

0 <= rho <= 1

O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x * d y = rho * d rho * d theta . Finalmente podemos resolver a integral, que será

int int_K x * [z]_(x^2 - y^2)^(1 - 2 * y^2) * d x * d y = int int_K x * (1 - 2 * y^2 - x^2 + y^2) * d x * d y =

= int int_K x * (1 - ( x^2 + y^2 )) * d x * d y = int_0^(2 * pi) int_0^1 rho * cos theta * (1 - rho^2) * rho * d rho * d theta =

= int_0^(2 * pi) int_0^1 cos theta * ( rho^2 - rho^4 ) * d rho * d theta = (sin theta)_0^(2 * pi) * ((rho^3)/(3) - (rho^5)/(5))_0^1 = 0

Resposta

int int int_B x * d x * d y * d z = 0

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 2 a 2 - x 2a0 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 ≤ z ≤ 1 - y e y ≥ 0
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) 4 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≤ 4 e 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 1
W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 4 , x^2 + y^2 = 2 y} .