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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 12

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x

x = 1 + 2 y 2 ,     1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ a b 2 π y 1 + d x d y 2   d y

Então, vamos primeiro calcular x '

x ' = d x d y = 4 y

Agora, vamos calcular o termo da raiz

1 + d x d y 2 = 1 + 16 y 2

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 1 2 2 π y 1 + 16 y 2 1 2 d y = 2 π ∫ 1 2 y 1 + 16 y 2 1 2 d y

Vamos resolver pelo método da substituição, então

Seja u = 16 y 2 + 1 , temos que d u = 32 y   d y . Então, substituindo

2 π ∫ 1 2 y 1 + 16 y 2 1 2 d y = 2 π ∫ 1 2 u 1 2 d u 32 = π 16 ∫ 1 2 u 1 2 d u = π 16 2 3 u 3 2 1 2 = π 16 2 3 16 y 2 + 1 3 2 1 2 = π 24 65 65 - 17 17

Resposta

S = π 24 65 65 - 17 17

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Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x x = 1 3 y 2 + 2 3 2 , 1 ≤ y ≤ 2
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = se
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante y = x 3 , 1 ≤ y ≤ 2
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1