Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 14
A curva dada é girada em torno do eixo . Calcule a área da superfície resultante
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície que é obtida pela rotação da curva em torno do eixo , no intervalo .
Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma:
Então, vamos primeiro calcular a derivada, , da função. Depois, vamos substituir na fórmula para obter nossa área de rotação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de , em relação a :
Agora, vamos calcular o termo da raiz, substituindo o resultado da derivada que encontramos:
Passo 3
Agora, podemos calcular , só substituirmos o que já encontramos nos passos anteriores:
Vamos resolver essa integral pelo método da substituição. Então, vamos definir:
Substituindo, ficamos com:
Colocando as constantes do lado de fora:
E integrando, temos:
Agora vamos voltar à nossa variável original , antes de aplicar o intervalo:
E aplicando o intervalo de integração, teremos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉