Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 11
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície que é obtida pela rotação da curva em torno do eixo , no intervalo .
Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma:
Então, vamos primeiro calcular a derivada, , da curva. Depois, vamos substituir na fórmula para obter nossa área de rotação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de , em relação a :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo da raiz, substituindo a derivada que encontramos no passo anterior:
Aplicando a distributiva no produto:
Fatorando:
E simplificando:
Passo 4
Agora, podemos calcular , só substituirmos o que já encontramos nos passos anteriores:
Colocando a constante do lado de fora da integral:
Aplicando a distributiva:
E integrando, temos:
Agora aplicando os limites de integração:
E calculando, teremos a nossa área:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉