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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 13

A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante

y = x 3 ,     1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva y = x 3 em torno do eixo y , no intervalo 1 ≤ x ≤ 2 .

Pra calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo y , vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ c d 2 π x 1 + x ' 2   d y

Então, o que nós vamos fazer calcular a derivada de y , elevar o resultado ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo a ,   b = 1 ,   2 e integramos para obter nossa área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo x em função de y :

x = y 3

Agora derivando x em relação a y , temos:

x ' = d x d y

x ' = 3 y 2

Agora, vamos calcular o termo da raiz, elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 :

1 + d x d y 2 = 1 + 9 y 4

Passo 3

Agora, podemos calcular A , só substituirmos o que já encontramos na integral de área:

A = ∫ 1 2 2 π y 3 1 + 9 y 4   d y

Colocando a constante do lado de fora da integral:

A = 2 π ∫ 1 2 y 3 1 + 9 y 4   d y

Vamos resolver pelo método da substituição, então:

Seja u = 9 y 4 + 1 , temos que d u = 36 y 3   d y . Assim, substituindo, ficamos com:

A = 2 π ∫ u 1 u 2 u d u 36

Colocando as constantes do lado de fora:

A = π 18 ∫ u 1 u 2 u   d u

Integrando em relação a u :

A = π 18 2 3 u 3 2 u 1 u 2

A = π 27 9 y 4 + 1 3 2 1 2

Aplicando os limites de integração:

A = π 27 145 145 - 10 10  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = π 27 145 145 - 10 10

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