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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 10

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x

y = x 3 6 + 1 2 x ,     1 2 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva y = x 3 6 + 1 2 x em torno do eixo x , no intervalo 1 2 ≤ x ≤ 1 .

Pra calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo x , vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Então, o que nós vamos fazer calcular a derivada de y , elevar o resultado ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo a ,   b = 1 2 ,   1 e integramos para obter nossa área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos primeiro calcular y ' , usando a regrinha da potência na derivação:

y ' = d d x x 3 6 + 1 2 x

y ' = 3 x 2 6 - 1 2 x 2

E simplificando, temos:

y ' = x 2 2 - 1 2 x 2

Agora vamos calcular o termo da raiz, elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 :

1 + y ' 2 = 1 + x 4 4 - 1 2 + 1 4 x 4

Observe que expandimos o produto notável x 2 2 - 1 2 x 2 2 dentro da raiz. Agora simplificando:

= x 4 4 + 1 2 + 1 4 x 4

Fatorando, pra simplificar o quadrado com a raiz, temos:

= x 2 2 + 1 2 x 2 2

= x 2 2 + 1 2 x 2  

Passo 3

Agora, podemos calcular A , só substituirmos o que já encontramos na integral:

A = 2 π ∫ 1 2 1 x 3 6 + 1 2 x x 2 2 + 1 2 x 2 d x

Aplicando a distributiva no produto dentros dos colchetes:

A = 2 π ∫ 1 2 1 x 5 12 + x 12 + x 4 + 1 4 x 3 d x

A = 2 π ∫ 1 2 1 x 5 12 + x 3 + x - 3 4 d x

Integrando em relação a x :

A = 2 π x 6 72 + x 2 6 - x - 2 8 1 2 1

Aplicando os limites de integração:

A = 2 π 1 72 + 1 6 - 1 8 - 1 64 ⋅ 72 + 1 24 - 1 2

Temos a nossa área:

A = 2 π 263 512

A = 263 256 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 263 256 π

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Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . 9 x = y 2 + 18 ,2 ≤ x ≤ 6
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 2
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . y = cosh ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 1
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante. y = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x ,1 ≤ y ≤ 2
Use a Regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora. y = x