A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante.

y = 1 / 4 * x^2 - 1 / 2 * ln(x), 1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

A gente já começa derivando! Então, y ' é

y ' = d y d x = x 2 - 1 2 x → 1 + d y d x 2 = 1 + x 2 4 - 1 2 + 1 4 x 2 = x 2 4 + 1 2 + 1 4 x 2 = x 2 + 1 2 x 2

Passo 2

Assim, nós iremos calcular a integral nos limites entre 1 e 2 :

S = ∫ 1 2 2 π x x 2 + 1 2 x 2 d x = 2 π ∫ 1 2 x x 2 + 1 2 x d x = π ∫ 1 2 x 2 + 1   d x = π 1 3 x 3 + x 1 2 =

π 8 3 + 2 - 1 3 + 1 = 10 3 π

Resposta

10 3 π .

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