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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 9

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .

y = cosh ⁡ x ,       0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução obtida quando se gira a curva em torno do eixo x . Assim, usamos que

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Tomando a derivada de y , achamos y ' :

y ' = s e n h   x   ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + s e n h 2 x = cosh 2 ⁡ x

Desta forma,

1 + y ' 2 = cosh 2 ⁡ x = cosh ⁡ x

Passo 2

Desta forma, a área será

A = 2 π   ∫ 0 1 cosh 2 ⁡ x   d x

Vamos lembrar que

cosh ⁡ x = e x + e - x 2 ⇒ cosh 2 ⁡ x = 1 4 e 2 x + 2 ⋅ e x ⋅ e - x + e - 2 x = 1 4 ( e 2 x + e - 2 x + 2 )

Assim,

cosh 2 ⁡ x = 1 2 + 1 2 e 2 x + e - 2 x 2 = 1 + cosh ⁡ 2 x 2

Passo 3

Desta forma,

A = 2 π 2 ∫ 0 1 1 + cosh ⁡ 2 x   d x = π   x + 1 2 s e n h   2 x 0 1

Assim,

A = π 1 + 1 2 s e n h   2 - 1 2 s e n h   0 = π 1 + 1 2 s e n h   2

Resposta

π 1 + 1 2 s e n h   2

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