Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 6
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo , no intervalo .
Pra calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo , vamos usar a seguinte fórmula:
Então, o que nós vamos fazer é isolar o na nossa equação, calcular a derivada dele, elevar ao quadrado, somar e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo e integramos para obter nossa área.
Vamos lá!
Passo 2
Antes de qualquer coisa precisamos isolar o na nossa função:
Calculamos sua derivada utilizando a regra da cadeia:
Então, elevando esse resultado ao quadrado e somando , temos:
Tirando o MMC do lado direito da equação:
Simplificando, ficamos com:
Passo 3
Desta forma, substituindo tudo na fórmula de área, temos:
Simplificando e colocando a constante do lado de fora da integral:
Agora vamos fazer uma substituição simples para resolver essa integral. Fazendo , temos que . Além disso, nos intervalos, para , e para , .
Assim, ficamos com:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Portanto:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉