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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 5

Calcule, caso exista, underset((h , k) -> (0,0))(lim) (f (h , k))/(||(h , k)||) , onde f é dada por f (x , y) = (x^3)/(x^2 + y^2) .

Passo 1

Vamos começar substituindo a função f (x , y) no limite:

underset((h , k) -> (0,0))(lim) (f (h , k))/(||(h , k)||) = underset((h , k) -> (0,0))(lim) (h^3)/(h^2 + k^2) * (1)/(sqrt(h^2 + k^2)) = underset((h , k) -> (0,0))(lim) (h^3)/((h^2 + k^2)^(3 // 2))

Seja varphi (h , k) = (h^3)/((h^2 + k^2)^(3 // 2)) , vamos assumiri gamma_1 (t) = (t , 0) e gamma_2 (t) = (t , t) .

underset(t -> 0)(lim) varphi (gamma_1 (t)) = underset(t -> 0)(lim) (t^3)/(t^3) = 1

underset(t -> 0)(lim) varphi (gamma_2 (t)) = underset(t -> 0)(lim) (t^3)/((t^2 + t^2)^(3 // 2)) = underset(t -> 0)(lim) (t^3)/((2 t^2)^3) = underset(t -> 0)(lim) (t^3)/(t^3 2 sqrt(2)) = (1)/(2 sqrt(2))

Como os limites são diferentes, underset((h , k) -> (0,0))(lim) (f (h , k))/(||(h , k)||) não existe.

Fim!!!

Resposta

Não existe

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