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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 42

Calcule o comprimento da curva.

x = e t - t ,   y = 4 e t 2 ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Eaee, beleza?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:

x = e t - t

  y = 4 e t 2

Queremos encontrar o comprimento L dessa curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 .

Para isso, o comprimento L pode ser determinado da seguinte forma:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Calculando as derivadas, obtemos:

d x d t = e t - 1

d y d t =   2 e t / 2

Substituindo as derivadas e aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 2 e t - 1 2 +   2 e t / 2 2 d t

Beleza, vamos desenvolver isso então...

L = ∫ 0 2 e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t   d t ∴

L = ∫ 0 2 e 2 t + 2 e t + 1   d t

Fatorando essa expressão, podemos perceber que e 2 t + 2 e t + 1 = e t + 1 2 , portanto:

L = ∫ 0 2 e t + 1 2   d t

Retirando a raiz:

L = ∫ 0 2 e t + 1   d t

L = ∫ 0 2 e t   d t + ∫ 0 2 1   d t

Passo 3

Resolvendo as duas integrais, temos:

L = e t + t 0 2

Aplicando os limites de integração:

L = e 2 + 2 - e 0 + 1 ∴

L = e 2 + 1

Prontinho! Esse é o comprimento procurado😊

Resposta

L = e 2 + 1

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