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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 29

Em quais pontos na curva x = 3 t 2 + 1 , y = t 3 - 1 a reta tangente tem inclinação 1 2 ?

Passo 1

E aí, pessoal. Beleza?

Essa questão quer saber em quais pontos x , y a curva dada possui inclinação igual a 1 2 .

Bom, em cálculo 1, nós aprendemos que a reta tangente a uma função y = f ( x ) possui inclinação m dada por: m = d y d x

Então, vamos calcular a derivada da função, m ,   e igualar a 1 2 .

Passo 2

Para calcular f ' ( x ) devemos lembrar que x é uma função de t , ou seja, vamos precisar da regra da cadeia para encontrar a derivada dessa função.

Ao fazer a derivada de y em relação ao parâmetro t, nós obtemos:

d y d t = d y d x d x d t

Se

d x d t ≠ 0

então

d y d x =   d y / d t d x / d t

A partir de agora, quando você quiser saber a inclinação da reta tangente a uma curva parametrizada, basta usar essa equação.

m = 3 t 2 6 t

m   = t 2 2 t

Beleza, a inclinação da reta tangente é dada por essa razão. Agora basta fazer m = 1 2 para obter os valores de t que satisfazem essa equação.

t 2 2 t = 1 2

2 t 2 = 2 t

t 2 = t

Aqui temos uma equação do segundo grau para resolver. Vamos deixar todos os termos do mesmo lado da igualdade para ficar mais explicito:

t 2 - t = 0

t t - 1 = 0

t = 0   o u   t = 1

Agora é só a gente substituir esses valores nas equações paramétricas de x e y para obter os pontos.

Passo 3

  • Para t = 0 :

    • x 0 = 3 ( 0 ) 2 + 1 = 1

    y ( 0 ) = ( 0 ) 3 - 1 = - 1

  • t = 1

x ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2 + 1 = 4

y 1 = ( 1 ) 3 - 1 = 0

Show! Então os pontos são 1 , - 1   e   ( 4,0 ) .

Resposta

- 1,1   e   ( 4,0 )

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a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x = r θ - ds e nθ , y = r - d cos ⁡ θ em termos de θ .b) Mostre que, se dr , então a trocoide não tem uma tangente vertical.