Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 41
Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Essa é mais uma questão sobre cálculo de comprimento de curvas. Se você chegou até no capítulo já deve ter decorado a fórmula do comprimento de uma curva com entre e , né? Se você não lembra eu vou te ajudar:
Com isso, temos que achar a derivada da curva, substituir na fórmula e calcular a integral. Nesse caso, a função é dada por uma integral:
Para achar a derivada dessa curva, usamos a parte 1 do teorema fundamental do cálculo (vai dar uma olhadinha na seção 3 do capítulo 5):
Isso significa que a derivada da integral é a própria função que seria integrada. Com isso,
Eu sei que a primeira ideia que você teve foi integrar e depois tomar a derivada, mas você ia perder um tempo gigantesco e nem sei se é possível fazer essa integral na mão. Olha como usando o conhecimento prévio que você já tem as coisas ficam muito mais simples!
Passo 2
Agora vamos usar a fórmula do comprimento de arco:
Logo,
Agora é só fazer a integral:
Substituindo os limites de integração:
Portanto, o comprimento da curva é