Calcule o comprimento da curva.

y = ∫ 1 x t 3 - 1   d t ,               1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Essa é mais uma questão sobre cálculo de comprimento de curvas. Se você chegou até no capítulo já deve ter decorado a fórmula do comprimento de uma curva y = y x com x entre a e b , né? Se você não lembra eu vou te ajudar:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Com isso, temos que achar a derivada da curva, substituir na fórmula e calcular a integral. Nesse caso, a função é dada por uma integral:

y = ∫ 1 x t 3 - 1   d t

Para achar a derivada dessa curva, usamos a parte 1 do teorema fundamental do cálculo (vai dar uma olhadinha na seção 3 do capítulo 5):

g x = ∫ a x f t   d t ⇒ g ' x = f x

Isso significa que a derivada da integral é a própria função que seria integrada. Com isso,

y = ∫ 1 x t 3 - 1   d t ⇒ y ' = x 3 - 1

Eu sei que a primeira ideia que você teve foi integrar t 3 - 1 e depois tomar a derivada, mas você ia perder um tempo gigantesco e nem sei se é possível fazer essa integral na mão. Olha como usando o conhecimento prévio que você já tem as coisas ficam muito mais simples!

Passo 2

Agora vamos usar a fórmula do comprimento de arco:

1 + y ' 2 = 1 + x 3 - 1 = x 3

Logo,

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

= ∫ 1 4 x 3   d x

= ∫ 1 4 x 3 / 2   d x

Agora é só fazer a integral:

L = 2 5 x 5 2 1 4 = 2 5 x 2 x 1 4

Substituindo os limites de integração:

L = 2 5 4 2 4 - 1 2 1 = 2 5 ( 16 ⋅ 2 - 1 )

Portanto, o comprimento da curva é

L = 62 5

Resposta

L = 62 5

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