Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 49
Use a Regra de Simpson com para estimar o comprimento da curva .
Passo 1
Então meu amigo, pronto para mais uma resolução? Vou te ajudar nela hoje.
Queremos estimar o comprimento da curva parametrizada:
Dentro do intervalo:
usando a regra de Simpson com .
Sabemos que o comprimento de uma curva pode ser calculado pela integral:
Utilizaremos a regra de Simpson para resolver essa integral.
Ela pode ser escrita como:
Ela é utilizada quando não queremos ou não podemos resolver uma integral das formas que já conhecemos.
Onde:
Isso é, o nosso intervalo de integração.
E
E os valores de que iremos utilizar na função.
Passo 2
Então, temos que primeiro montar a integral:
Vamos derivar as parametrizações:
Pronto, agora a gente substitui na formula:
Realizando o produto notável:
Simplificando:
Passo 3
Agora vamos usar a Regra de Simpson, que nos diz que com e
Como nossa variável é :
nós teremos:
Vamos então encontrar cada valor:
Agora a gente monta a formula:
Colocando os valores:
Teremos então, com a função sendo:
Temos então que o nosso resultado é: