Calcule o comprimento exato da curva polar r = theta^2 0 <= theta <= 2 pi Passo 1O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta O intervalo de integração a questão já deu pra gente: a = 0 b = 2 pi Os outros termos da integral vão ficar: r = theta^2 r^2 = theta^4 (d r)/(d theta) = 2 theta ((d r)/(d theta))^2 = 4 theta^2 Passo 2Substituindo tudo na integral: L = int_0^(2 pi) sqrt(theta^4 + 4 theta^2) d theta L = int_0^(2 pi) sqrt(theta^2 ( theta^2 + 4 )) d theta L = int_0^(2 pi) theta sqrt(( theta^2 + 4 )) d theta Se fizermos u = theta^2 + 4 Então d u = 2 theta d theta => theta d theta = (1)/(2) d u Assim L = int_4^(4 pi^2 + 4) (1)/(2) sqrt(u) d u L = (1)/(2) int_4^(4 pi^2 + 4) sqrt(u) d u L = (1)/(2) [(2)/(3) u^((3)/(2))] [[4,pi^2,+,4],[4]] L = (1)/(2) [(2)/(3) ( 4 pi^2 + 4 )^((3)/(2)) - (3)/(2) * 4^((3)/(2))] L = (1)/(2) * (2)/(3) [( 4 pi^2 + 4 )^((3)/(2)) - 4^((3)/(2))] L = (1)/(3) * 4^((3)/(2)) [( pi^2 + 1 )^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))] L = (8)/(3) * [( pi^2 + 1 )^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))] Resposta L = (8)/(3) * [( pi^2 + 1 )^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosDeterminar o comprimento do arco das seguintes curvas:h) r(t) = (3t + 1) + (t + 2)j para t ∈ [0, 2]Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:g) um arco da cicloide r(t) = 2(t - sen(t)) + 2(1 - cos(t))jDeterminar o comprimento do arco das seguintes curvas:e) x = t^3 , y = t^2, 1 ≤ t ≤ 3Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:i) r(t) = (t * sen(t), t * cos(t)) para t ∈ [0, pi]Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:h) r(t) = (e^t, e^(-t), t * raiz(2)) para t ∈ [0, 1]Ver TambémVer Livro Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James StewartVer tudo sobre Curvas e SuperfíciesLista de exercícios de Comprimento de ArcoVer exercício 10.4 - 42Ver exercício 12.4 - 35