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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 47

Calcule o comprimento exato da curva polar

r = theta^2

0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

O intervalo de integração a questão já deu pra gente:

a = 0

b = 2 pi

Os outros termos da integral vão ficar:

r = theta^2

r^2 = theta^4

(d r)/(d theta) = 2 theta

((d r)/(d theta))^2 = 4 theta^2

Passo 2

Substituindo tudo na integral:

L = int_0^(2 pi) sqrt(theta^4 + 4 theta^2) d theta

L = int_0^(2 pi) sqrt(theta^2 ( theta^2 + 4 )) d theta

L = int_0^(2 pi) theta sqrt(( theta^2 + 4 )) d theta

Se fizermos

u = theta^2 + 4

Então

d u = 2 theta d theta => theta d theta = (1)/(2) d u

Assim

L = int_4^(4 pi^2 + 4) (1)/(2) sqrt(u) d u

L = (1)/(2) int_4^(4 pi^2 + 4) sqrt(u) d u

L = (1)/(2) [(2)/(3) u^((3)/(2))] [[4,pi^2,+,4],[4]]

L = (1)/(2) [(2)/(3) ( 4 pi^2 + 4 )^((3)/(2)) - (3)/(2) * 4^((3)/(2))]

L = (1)/(2) * (2)/(3) [( 4 pi^2 + 4 )^((3)/(2)) - 4^((3)/(2))]

L = (1)/(3) * 4^((3)/(2)) [( pi^2 + 1 )^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))]

L = (8)/(3) * [( pi^2 + 1 )^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))]

Resposta

L = (8)/(3) * [( pi^2 + 1 )^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))]

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