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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 50

No exercício 43 , na Seção 10.1 , foi pedido que você deduzisse as equações paramétricas x = 2 a   c o t g   θ , y = 2 a sin 2 ⁡ θ para a curva chamada bruxa de Maria Agnesi. Use a Regra de Simpson com n = 4 para estimar o comprimento do arco dessa curva dada por π 4 ≤ θ ≤ π 2 .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntos aqui hoje.

Dada a curva parametrizada:

x = 2 a   c o t g   θ

y = 2 a sin 2 ⁡ θ

Queremos encontrar o comprimento dela para o intervalo:

π 4 ≤ θ ≤ π 2

O comprimento de uma curva parametrizada em coordenadas polares é dada pela seguinte integral:

L = ∫ a b d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ

Já a regra de Simpson para resolvermos uma integral é dada por:

∫ a b f x d x = Δ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + f x n

Onde, Δ x = b - a n e:

x 0 = a   ; x 1 = x 0 + Δ x   ; x 2 = x 1 + Δ x , … ,   x n = b

Então o que iremos fazer é montar a nossa integral e resolver ela por meio da regra de Simpson.

Passo 2

Temos então a nossa integral:

L = ∫ π 4 π 2   d x d t 2 + d x d t 2 d t

Derivando as funções:

x = 2 a   c o t g   θ

y = 2 a sin 2 ⁡ θ

d x d θ = - 2 a ⋅ csc 2 ⁡ θ

Aplicando aqui a regra da cadeia:

d y d θ = 2 a ⋅ d d u u 2 ⋅ d d θ sin ⁡ θ

d y d θ = 4 acos ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ

Voltamos então a nossa integral:

L = ∫ π 4 π 2   - 2 a 1 sin 2 ⁡ θ 2 + ( 4 a c o s ⁡ θ s i n ⁡ θ ) 2 d t

Colocando todo mundo ao quadrado:

L = ∫ π 4 π 2   4 a 2 sin 4 ⁡ θ + 16 a 2 c o s 2 ⁡ θ s i n 2 ⁡ θ d t

Retirando 4 a 2 da raiz:

L = ∫ π 4 π 2   2 a 1 sin 4 ⁡ θ + 4 c o s 2 ⁡ θ s i n 2 ⁡ θ d t

Simplificando utilizando identidade trigonométrica:

L = ∫ π 4 π 2   2 a 1 sin 4 ⁡ θ + s i n 2 ⁡ 2 θ d t

Agora é a hora que a gente utilizar a regra de Simpson:

Lembre-se que:

Δ x = b - a n

Δ θ = π 2 - π 4 4 = π 16

Temos que:

θ 0 = π 4 , θ 1 = π 4 + π 16 = 5 π 16 , θ 2 = 6 π 16 , θ 3 = 7 π 16 , θ 4 = π 2

E nossa função é a:

f θ = 2 a 1 sin 4 ⁡ θ + sin 4 ⁡ 2 θ

Assim nos resta realizar os cálculos:

L = ∫ π 4 π 2   2 a 1 sin 4 ⁡ θ + s i n 2 ⁡ 2 θ d t

Que vira:

L = Δ θ 3 f θ 0 + 4 f θ 1 + 2 f θ 2 + 4 f θ 3 + f θ 4

Realizando os cálculos a gente tem:

L = π 48 2 a 1 sin 4 ⁡ π 4 + s i n 2 ⁡ π 2 + 4 ⋅ 2 a 1 sin 4 ⁡ 5 π 16 + s i n 2 ⁡ 5 π 8

+ π 48 2 a 1 sin 4 ⁡ π 4 + s i n 2 ⁡ π 2 + 4 ⋅ 2 a 1 sin 4 ⁡ 5 π 16 + s i n 2 ⁡ 5 π 8 + 2 ⋅ 2 a 1 sin 4 ⁡ 6 π 16 + s i n 2 ⁡ 6 π 8 + 4 ⋅ 2 a 1 sin 4 ⁡ 7 π 16 + s i n 2 ⁡ 7 π 8 + 2 a 1 sin 4 ⁡ π 2 + s i n 2 ⁡ π

Substituindo os valores dos senos:

L = 2 a ⋅ π 48 5 + 4 2.09225 + 0.8535 + 2 1.3726 + 0.5 + 4 1.0807 + 0.1465 + 1

Calculando as raízes:

L = a π 24 [ 2.236 + 6.8653 + 2.7369 + 4.4317 + 1 ]

Ficamos então com:

L = 17.27 a π 24

Resposta

L = 17.27 a π 24

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