No exercício 43 , na Seção 10.1 , foi pedido que você deduzisse as equações paramétricas x = 2 ac o t gθ , y = 2 a sin 2 ⁡ θ para a curva chamada bruxa de Maria Agnesi. Use a Regra de Simpson com n = 4 para estimar o comprimento do arco dessa curva dada por π 4 ≤ θ ≤ π 2 .

Enunciado

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntos aqui hoje.

Dada a curva parametrizada:

Queremos encontrar o comprimento dela para o intervalo:

O comprimento de uma curva parametrizada em coordenadas polares é dada pela seguinte integral:

Já a regra de Simpson para resolvermos uma integral é dada por:

Onde, e:

Então o que iremos fazer é montar a nossa integral e resolver ela por meio da regra de Simpson.

Temos então a nossa integral:

Derivando as funções:

Aplicando aqui a regra da cadeia:

Voltamos então a nossa integral:

Colocando todo mundo ao quadrado:

Retirando da raiz:

Simplificando utilizando identidade trigonométrica:

Agora é a hora que a gente utilizar a regra de Simpson:

Lembre-se que:

Temos que:

E nossa função é a:

Assim nos resta realizar os cálculos:

Que vira:

Realizando os cálculos a gente tem:

Substituindo os valores dos senos:

Calculando as raízes:

Ficamos então com: