4. Suponha que, para todo t , f(t^2, 2t) = t^3 - 3t . mostre que ∂f/∂x|_(1,2) = - ∂f/∂y|_(1,2)

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f (t^2 , 2 t) = t^3 - 3 t

Primeiro vamos escrever essa função em termos de f ( x , y ) . Assim,

x = t^2 e y = 2 t

Então,

f (t^2 , 2 t) = t^2 xx t - 3 xx t

Substituindo por x e y :

f (x , y) = x xx (y)/(2) - 3 xx (y)/(2)

A ideia será derivar parcialmente em relação a x e y e verificar que a afirmação dele é verdade. Vamos lá!

Passo 2

Nossa função fica da seguinte forma:

f (x , y) = (x y)/(2) - (3)/(2) y

Derivando em relação a x :

(del f)/(del x) = (1)/(2) y

Agora vamos derivar f em relação a y :

(del f)/(del y) = (1)/(2) x - (3)/(2)

Passo 3

Pra finalizar, vamos calcular os valores das derivadas parciais no ponto (1,2) . Em relação a x :

(del f)/(del x) = (1)/(2) y

Logo,

(del f)/(del x) (1,2) = (1)/(2) xx 2 -> (del f)/(del x) (1,2) = 1

Agora vamos ver como fica em relação a y .

(del f)/(del y) = (1)/(2) x - (3)/(2)

Então,

(del f)/(del y) (1,2) = (1)/(2) xx 1 - (3)/(2) = - 1

Portanto,

(del f)/(del x) (1,2) = - (del f)/(del y) (1,2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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