Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 4
4. Suponha que, para todo , . mostre que
Passo 1
A função que ele nos deu foi a seguinte:
Primeiro vamos escrever essa função em termos de . Assim,
e
Então,
Substituindo por e :
A ideia será derivar parcialmente em relação a e e verificar que a afirmação dele é verdade. Vamos lá!
Passo 2
Nossa função fica da seguinte forma:
Derivando em relação a :
Agora vamos derivar em relação a :
Passo 3
Pra finalizar, vamos calcular os valores das derivadas parciais no ponto . Em relação a :
Logo,
Agora vamos ver como fica em relação a .
Então,
Portanto,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Seja F ( u , v ) diferenciável em R 2 , com ∂ F ∂ v u , v ≠ 0 para todo ( u , v ) . Suponha que, para todo ( x , y ) , F x y , z = 0 , onde z = z ( x , y ) . Mostre que x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0
Suponha x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) sejam dadas implicitamente pelo sistema u = x + y v = y x , x ≠ 0 Mostre que ∂ x ∂ u1 + y x = 1
A equação y 3 + x y + x 3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso afirmativo, expresse d y d x em termos de x e y .
A função diferenciável z = z ( x , y ) é dada implicitamente pela equação f x y , z = 0 , onde f ( u , v ) é suposta diferenciável e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Expresse d y d x em termos de x e y .a) x 2 y + s e ny = x b) y 4 + x 2 y 2 + x 4 = 3