Calcule o comprimento exato da curva polar

r = theta

0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

O intervalo de integração a questão já deu pra gente:

a = 0

b = 2 pi

Os outros termos da integral vão ficar:

r = theta

r^2 = theta^2

(d r)/(d theta) = 1

((d r)/(d theta))^2 = 1

Passo 2

Substituindo tudo na integral:

L = int_0^(2 pi) sqrt(theta^2 + 1) d theta

Das fórmulas de integração que tem láaa no final do livro, a gente consegue tirar rapidinho que essa integral vale

L = [(theta)/(2) sqrt(theta^2 + 1) + (1^2)/(2) ln ( theta + sqrt(theta^2 + 1) )] [[2,pi],[0]]

Tá, eu sei que não é bonito, mas pelo menos tem uma fórmula pra fazer isso, pq eu nunca ia lembrar como que se integra esse negócio hahaha

Continuando...

L = [(pi sqrt(4 pi^2 + 1) + (1)/(2) ln (2 pi + sqrt(4 pi^2 + 1))) - (0 + (1)/(2) ln (0 + 1))]

L = pi sqrt(4 pi^2 + 1) + (1)/(2) ln (2 pi + sqrt(4 pi^2 + 1))

Resposta

L = pi sqrt(4 pi^2 + 1) + (1)/(2) ln (2 pi + sqrt(4 pi^2 + 1))

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