Calcule o comprimento exato da curva polar

r = 3 sen theta

0 <= theta <= (pi)/(3)

Passo 1

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

O intervalo de integração a questão já deu pra gente:

a = 0

b = (pi)/(3)

Os outros termos da integral vão ficar:

r = 3 sen theta

r^2 = 9 sen^2 theta

(d r)/(d theta) = 3 cos theta

((d r)/(d theta))^2 = 9 cos^2 theta

Passo 2

Substituindo tudo na integral:

L = int_0^((pi)/(3)) sqrt(9 sen^2 theta + 9 cos^2 theta) d theta

L = int_0^((pi)/(3)) sqrt(9 ( sen^2 theta + cos^2 theta )) d theta

L = int_0^((pi)/(3)) sqrt(9 ( 1 )) d theta

L = int_0^((pi)/(3)) 3 d theta

L = [3 theta] [[pi,//,3],[0]]

L = [(3 pi)/(3) - 0]

L = pi

Resposta

L = pi

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