Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 48
Calcule o comprimento exato da curva polar:
Passo 1
E aí, pessoal. Beleza?
Essa questão pede o comprimento da curva dada. Antes disso, vamos entender que curva é essa.
Veja que não há nenhuma restrição na variável , ou seja, a curva será formada com variando no intervalo .
Vamos analisar o comportamento da função nos quatro quadrantes:
- Para , temos . Já para , temos . Então, no primeiro quadrante, o raio varia de 4 até 2.
- Para , temos . Assim, no segundo quadrante, o raio varia de 2 até 0.
- Para , temos . Com isso, no terceiro quadrante, o raio cresce de 0 até 2.
- Para , temos Desse modo, no quarto quadrante, o raio cresce de 2 até 4.
A curva é dada por:
Note que a curva dá a “trajetória” do raio conforme o parâmetro varia de a .
Passo 2
Agora que sabemos qual é a curva, vamos aplicar a equação para calcular o comprimento de uma curva (ou arco) polar:
Temos que , logo:
Além disso, lembre-se que e .
Passo 3
Aplicando na equação do arco, temos:
Simplificando o integrando temos:
Para resolver essa integral, vamos ter que lembrar da seguinte relação trigonométrica:
Daí escrevemos
Se fizermos , então .
Com isso, podemos substituir dentro da integral.
Agora podemos reescrever a integral:
Passo 4
Para entender o que fazer com esse módulo, vamos entender o comportamento do integrando dentro do intervalo de integração.
O nosso integrando é uma função que varia de -1 até +1 nesses limites de integração, tendo um zero em . O que a função módulo faz é refletir a parte negativa do integrando em torno do eixo .
Dessa forma, podemos calcular a integral da parte positiva de , que ocorre de até . Depois disso, multiplicamos por dois.
Vamos lá...
Pronto! Conseguimos resolver mais uma questão.
Resposta
O arco possui comprimento de .