Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 48

Calcule o comprimento exato da curva polar:

Passo 1

E aí, pessoal. Beleza?

Essa questão pede o comprimento da curva dada. Antes disso, vamos entender que curva é essa.

Veja que não há nenhuma restrição na variável , ou seja, a curva será formada com variando no intervalo .

Vamos analisar o comportamento da função nos quatro quadrantes:

Para , temos . Já para , temos . Então, no primeiro quadrante, o raio varia de 4 até 2.
Para , temos . Assim, no segundo quadrante, o raio varia de 2 até 0.
Para , temos . Com isso, no terceiro quadrante, o raio cresce de 0 até 2.
Para , temos Desse modo, no quarto quadrante, o raio cresce de 2 até 4.

A curva é dada por:

Note que a curva dá a “trajetória” do raio conforme o parâmetro varia de a .

Passo 2

Agora que sabemos qual é a curva, vamos aplicar a equação para calcular o comprimento de uma curva (ou arco) polar:

Temos que , logo:

Além disso, lembre-se que e .

Passo 3

Aplicando na equação do arco, temos:

Simplificando o integrando temos:

Para resolver essa integral, vamos ter que lembrar da seguinte relação trigonométrica:

Daí escrevemos

Se fizermos , então .

Com isso, podemos substituir dentro da integral.

Agora podemos reescrever a integral:

Passo 4

Para entender o que fazer com esse módulo, vamos entender o comportamento do integrando dentro do intervalo de integração.

O nosso integrando é uma função que varia de -1 até +1 nesses limites de integração, tendo um zero em . O que a função módulo faz é refletir a parte negativa do integrando em torno do eixo .