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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 3b

3. Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o Exerc. 2)

b)

ρ = 1 + cos ⁡ θ ,     θ ∈ 0 , π 4

Passo 1

Para calcular o comprimento da curva, vamos usar o resultado do exercício 2. Olha só:

L γ = ∫ α β ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

Pra começar, vamos achar d ρ d θ .

ρ = 1 + cos ⁡ θ

Derivando,

  d ρ d θ = - s e n θ

Passo 2

Agora vamos usar a expressão do Passo 1 para calcular o comprimento!

L γ = ∫ 0 π 4 ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

Usando o que calculamos no Passo 1:

L γ = ∫ 0 π 4 ( 1 + cos ⁡ θ ) 2 + - s e n θ 2 d θ

Arrumando as coisas, temos:

L γ = ∫ 0 π 4 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ d θ

Como se n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

L γ = ∫ 0 π 4 2 1 + cos ⁡ t d t

Passo 3

Lá da trigonometria, sabemos o seguinte:

cos ⁡ t = 2 cos 2 ⁡ t 2 - 1

Isolando 2 cos 2 ⁡ t 2 :

2 cos 2 ⁡ t 2 = 1 + cos ⁡ t

Jogando isso na nossa integral:

L γ = ∫ 0 π 4 2 × 2 cos 2 ⁡ t 2 d t

L γ = 2 ∫ 0 π 4 c o s t 2 d t

Não esquece: ∫ c o s a x   d x = s e n ( a x ) a + c

L γ = 2 × sen ⁡ t 2 1 2 0 π 4

Fazendo as contas:

L γ = 2 × sen ⁡ π / 4 2 1 2 - 2 × sen ⁡ 0 2 1 2 = 4 s e n π 8

Agora é só calcular o s e n π 8

cos ⁡ 2 θ = 1 - 2 s e n 2 ( θ )

Fazendo θ = π / 8 :

cos ⁡ π 4 = 1 - 2 s e n 2 π 8

Logo,

s e n π 8 = 1 - cos ⁡ π 4 2 →   s e n π 8 = 2 - 2 4

Tirando o 4 da raiz:

L γ = 4 s e n π 8 = 4 × 1 2 2 - 2

Portanto,

L γ = 2 2 - 2

Resposta

L γ = 2 2 - 2

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