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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1g

1. Calcule o comprimento da curva dada:

g) y = 1 2 e x + e - x , x ∈ - 1,0 . (observação: trata-se da curva γ dada por x = t , y = 1 2 e t + e - t , com t ∈ [ - 1,0 ] .)

Passo 1

Nossa curva é a seguinte:

γ : - 1 ,   0 → R 2 dada por x t = t e y t = 1 2 e t + e - t

Logo,

γ t = t ,   1 2 e t + e - t  

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L γ = ∫ a b γ ' t d t

Que nos dá o comprimento da curva γ entre os pontos a , b . Primeiro vamos achar γ ' t .

Derivando γ t ,

γ ' t = 1 , 1 2 e t - e - t

Passo 2

Agora, vamos encontrar γ ' t e em seguida integrar,

γ ' t = 1 2 + 1 2 e t - e - t 2

Assim,

γ ' t = 1 + 1 4 e 2 t - 2 + e - 2 t

Arrumando as coisas:

γ ' t = 1 4 e 2 t + e - 2 t + 1 2

Passo 3

Integrando, temos:

L γ = ∫ - 1 0 γ ' t d t

Isto é,

L γ = ∫ - 1 0 1 4 e 2 t + e - 2 t + 1 2 d t

Logo,

L γ = 1 2 ∫ - 1 0 e 2 t + 2 + e - 2 t 2   d t

Tirando o 1 / 2 da raiz e da integral:

L γ = 1 2 ∫ - 1 0 e 2 t + 2 + e - 2 t   d t

Mas repare o seguinte:

e 2 t + 2 + e - 2 t = e t + e - t 2

Logo,

L γ = 1 2 ∫ - 1 0 e t + e - t 2   d t

Agora é só correr pro abraço!

L γ = 1 2 ∫ - 1 0 e t + e - t   d t

Não esquece: ∫ e a x d x = e a x a + k

L γ = 1 2 e t - 1 0 - e - t - 1 0

Fazendo as contas:

L γ = 1 2 e 0 - e - 1 - e 0 - e 1

Isto é,

L γ = 1 2 e - e - 1

Resposta

L γ = 1 2 e - e - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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