Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 30

Calcule as coordenadas do centroide delimitada pelas curvas dadas

y = 2 - x 2     ,       y = x

Passo 1

Sabendo que

x - = 1 A ∫ 0 1 x [ f x - g x ] d x

E,

y - = 1 A ∫ 0 1 [ f x ] 2 - g x 2 d x

Onde A   é área entre as funções.

Vamos achar logo a área , bb! Como temos uma so curva, cuja interseção c 2 - x 2 = x ⇒ x 2 + x - 2 = 0     ⇒ x = - 1 ± 3 2

Ou seja x = - 2 e x = 1

A = ∫ - 2 1 2 - x 2 - x d x = 2 x - 1 3 x 3 - x 2 2 - 2 1 = 1 - 1 3 - 1 2 - - 4 + 8 3 - 2 = 1 2 - 1 3 - - 6 + 8 3 = 3 - 2 6 - - 10 3 = 1 6 + 10 3 = 21 6

Daí,

x - = 1 A ∫ - 2 1 x ( 2 - x 2 - x )   d x = 1 21 6 x 2 - 1 4 x 4 - x 3 3 - 2 1 = 6 21   1 - 1 4 - 1 3 - 4 - 4 + 8 3 = 6 21   2 3 - 1 4 - 8 3 = 6 21 5 4 - 8 3 = - 51 21

E,

y - = 1 A ∫ - 2 1 2 - x 2 2 - ( x )   2 d x = 6 21 ∫ - 2 1 4 - 5 x 2 + x 4 d x = 6 21   4 x - 5 3 x 3 + x 5 5 - 2 1 = 6 21   4 - 5 3 + 1 5 - - 8 + 40 3 - 32 5 = 6 21 38 15 - - 16 15 = 6 21 54 15 = 108 105

Então o centroide é

x - , y - = - 51 21 , 108 105

Resposta

x - , y - = - 51 21 , 108 105

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o centroide da região mostrada, não por integração, mas por localização dos centroides dos retângulos e triângulos (do Exercício 39) e usando a aditividade dos momentos.
Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas no eixo x dos pontos de intersecção das curvas y = e x e y = 2 - x 2
Esboce a região delimitada entre as curvas e visualmente estime a localização do centroide. Em seguida, calcule as coordenadas do centroide. y = s e n x ,y = 0 , 0 ≤ x ≤ π
As massas pontuais m i estão localizadas no eixo x , conforme mostra a figura a seguir. Ache o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .
As massas pontuais m i estão localizadas no eixo x , conforme mostra a figura a seguir. Ache o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .