Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 13
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos
Passo 1
Falaeee, belezinha?? Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado.
Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.
Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.
Lembrando que para um sólido que está entre e e possui área de seção transversal igual a , seu volume é dado por:
Agora vamos aplicar!! 😉
Passo 2
Lembre-se que a área de uma coroa circular é dada por:
Onde é o raio maior e é o raio menor, que são dados em relação a .
Assim, o raio maior é dado por:
E o raio menor é dado por:
Igualando as duas curvas dadas, podemos encontrar os pontos de interseção:
Passo 3
Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral:
Assim, o nosso sólido terá a seguinte secção transversal:
Perceba a simetria da figura. Com isso, a gente pode calcular a integral no intervalo e depois dobrar!!
Assim, resolvendo a integral, temos
Passo 4
Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira:
Resposta
