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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 367a

Calcule:

a ) t g (a r c s e n (- (2)/(3)) + a r c s e n (1)/(4)) .

b ) s e n (2 a r c s e n (- (3)/(5))) .

c ) cos (3 a r c s e n (12)/(13)) .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo do exercício resolvido 366, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, teremos:

Item a

Sabendo que:

t g (alpha + beta) = (t g alpha + t g beta)/(1 - t g alpha * t g beta)

E fazendo:

alpha = a r c s e n (- (2)/(3)) e beta = a r c s e n (1)/(4)

Teremos que:

alpha = a r c s e n (- (2)/(3)) = > s e n alpha = - (2)/(3) e - (pi)/(2) <= alpha <= (pi)/(2)

E:

beta = a r c s e n (1)/(4) = > s e n beta = (1)/(4) e - (pi)/(2) <= beta <= (pi)/(2)

Logo:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - (- (2)/(3))^2) = sqrt(1 - (4)/(9)) = sqrt((5)/(9)) = (sqrt(5))/(3)

E:

cos beta = + sqrt(1 - s e n^2 beta) = sqrt(1 - ((1)/(4))^2) = sqrt(1 - (1)/(16)) = sqrt((15)/(16)) = (sqrt(15))/(4)

Passo 2

Para obtermos as tangentes usamos:

t g alpha = (s e n alpha)/(cos alpha) = ((- 2)/(3))/((sqrt(5))/(3)) = - (2)/(sqrt(5)) = - (2)/(sqrt(5)) * (sqrt(5))/(sqrt(5)) = - (2 sqrt(5))/(5)

E:

t g beta = (s e n beta)/(cos beta) = ((1)/(4))/((sqrt(15))/(4)) = (1)/(sqrt(15)) = (1)/(sqrt(15)) * (sqrt(15))/(sqrt(15)) = (sqrt(15))/(15)

Agora, aplicando os resultados obtidos na equação da tangente da soma, teremos que:

t g (alpha + beta) = t g (a r c s e n (- (2)/(3)) + a r c s e n (1)/(4)) = (t g alpha + t g beta)/(1 - t g alpha * t g beta)

Ou seja:

t g (a r c s e n (- (2)/(3)) + a r c s e n (1)/(4)) = (- (2 sqrt(5))/(5) + (sqrt(15))/(15))/(1 - (- (2 sqrt(5))/(5)) * (sqrt(15))/(15)) = ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(15))/(1 + (2 sqrt(75))/(75)) =

= ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(15))/((75 + 2 sqrt(75))/(75)) = ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(15)) ((75)/(75 + 2 sqrt(75))) = 5 ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(75 + 2 sqrt(25 * 3))) =

= 5 ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(75 + 10 sqrt(3)))

Passo 3

A resposta obtida deve ser racionalizada. Para isso multiplicamos a fração toda (numerador e denominador) pelo conjugado do denominador, ou seja, 75 - 10 sqrt(3) .

5 ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(75 + 10 sqrt(3))) = 5 ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(75 + 10 sqrt(3))) * ((75 - 10 sqrt(3))/(75 - 10 sqrt(3))) =

= (5 (- 450 sqrt(5) + 60 sqrt(15) + 75 sqrt(15) - 10 sqrt(45)))/(5625 - 100 * 3) = (5)/(5325) (- 450 sqrt(5) + 135 sqrt(15) - 10 sqrt(45)) =

= (1)/(1065) (- 450 sqrt(5) + 135 sqrt(15) - 10 sqrt(9 * 5)) = (1)/(1065) (- 450 sqrt(5) + 135 sqrt(15) - 30 sqrt(5)) =

= (1)/(1065) (- 480 sqrt(5) + 135 sqrt(15)) = (1)/(71) (9 sqrt(15) - 32 sqrt(5))

Passo 4

Outra resposta aceitável é obtida ao simplificarmos o resultado do passo 2, sem realizar a racionalização:

5 ((- 6 sqrt(5) + sqrt(15))/(75 + 10 sqrt(3))) = 5 ((- 6 sqrt(5) + sqrt(5 * 3))/(5 * 15 + 5 * 2 sqrt(3))) = (- 6 sqrt(5) + sqrt(5) * sqrt(3))/(15 + 2 sqrt(3)) = sqrt(5) ((- 6 + sqrt(3))/(15 + 2 sqrt(3)))

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

a ) (1)/(71) (9 sqrt(15) - 32 sqrt(5)) o u sqrt(5) ((- 6 + sqrt(3))/(15 + 2 sqrt(3)))

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