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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 387b

Prove as igualdades:

a ) 2 a r c t g (2)/(3) + a r c cos (12)/(13) = (pi)/(2)

b ) 3 a r c s e n (1)/(4) + a r c cos (11)/(16) = (pi)/(2)

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios anteriores, teremos:

Item b

Podemos reescrever a igualdade aplicando cosseno de ambos os lados da equação:

cos (3 a r c s e n (1)/(4) + a r c cos (11)/(16)) = cos (pi)/(2)

Fazendo:

alpha = a r c s e n (1)/(4) e beta = a r c cos (1 1)/(1 6)

Teremos que:

alpha = a r c s e n (1)/(4) = > s e n alpha = (1)/(4) e - (pi)/(2) <= alpha <= (pi)/(2)

E:

beta = a r c cos (1 1)/(1 6) = > cos beta = (1 1)/(1 6) e 0 <= beta <= pi

A igualdade que desejamos provar pode ser reescrita novamente como:

cos (3 alpha + beta) = 0

Passo 2

Desenvolvendo o termo da esquerda da igualdade, teremos:

cos (3 alpha + beta) = cos 3 alpha cos beta - s e n 3 alpha s e n beta

Devemos obter a equação para:

cos (3 alpha) = cos (2 alpha + alpha)

Segue a dedução:

cos (2 alpha + alpha) = cos 2 alpha * cos alpha - s e n 2 alpha * s e n alpha =

= (cos^2 alpha - s e n^2 alpha) * cos alpha - (2 s e n alpha c o s alpha) * s e n alpha =

= cos^3 alpha - s e n^2 alpha cos alpha - 2 s e n^2 alpha cos alpha = cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha

Devemos obter também a equação para:

s e n 3 alpha = s e n (2 alpha + alpha)

Segue a dedução:

s e n (2 alpha + alpha) = s e n 2 alpha cos alpha + s e n alpha cos 2 alpha =

= (2 s e n alpha c o s alpha) c o s alpha + s e n alpha (cos^2 alpha - s e n^2 alpha) =

= 2 s e n alpha cos^2 alpha + s e n alpha cos^2 alpha - s e n^3 alpha

Logo, a igualdade que queremos provar é reescrita como:

cos (3 alpha + beta) = cos 3 alpha cos beta - s e n 3 alpha s e n beta =

= (cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha) cos beta - (2 s e n alpha cos^2 alpha + s e n alpha cos^2 alpha - s e n^3 alpha) s e n beta =

= (cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha) cos beta - (3 s e n alpha cos^2 alpha - s e n^3 alpha) s e n beta = 0

Passo 3

Precisamos determinar o cosseno de α e o seno de β. Da relação fundamental da trigonometria, temos que:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - ((1)/(4))^2) = sqrt(1 - (1)/(16)) = sqrt((15)/(16)) = (sqrt(15))/(4)

Temos também que:

s e n beta = + sqrt(1 - cos^2 beta) = sqrt(1 - ((1 1)/(1 6))^2) = sqrt(1 - (1 21)/(256)) = sqrt((135)/(25 6)) = (3 sqrt(15))/(1 6)

Passo 4

Substituindo no lado esquerdo da igualdade:

(cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha) cos beta - (3 s e n alpha cos^2 alpha - s e n^3 alpha) s e n beta =

= [((sqrt(15))/(4))^3 - 3 ((1)/(4))^2 ((sqrt(15))/(4))] * (11)/(16) - [3 ((1)/(4)) ((sqrt(15))/(4))^2 - ((1)/(4))^3] * ((3 sqrt(15))/(16)) =

= ((15 sqrt(15))/(6 4) - (3 sqrt(15))/(6 4)) * (11)/(16) - ((3 * 15)/(6 4) - (1)/(64)) * ((3 sqrt(15))/(16)) =

= (1 2 sqrt(15))/(64) * (11)/(16) - (44)/(64) * (3 sqrt(15))/(16) = (3 3 sqrt(15))/(25 6) - (33 sqrt(15))/(256) = 0

Logo, a igualdade está provada.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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