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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 384ab

Calcule:

a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) .

b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) .

c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) .

d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios resolvidos 381 e 383, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, teremos:

Item a

Sabendo que:

s e n (alpha + beta) = s e n alpha * cos beta + s e n beta * cos alpha

E fazendo:

alpha = a r c t g 2 e beta = a r c t g 3

Teremos que:

alpha = a r c t g 2 = > t g alpha = 2 e - (pi)/(2) < alpha < (pi)/(2)

Logo:

s e n^2 alpha = (t g^2 alpha)/(1 + t g^2 alpha) = (2^2)/(1 + 2^2) = (4)/(5) = > s e n alpha = + sqrt((4)/(5)) = (2)/(sqrt(5))

Que racionalizando fica:

s e n alpha = (2)/(sqrt(5)) * (sqrt(5))/(sqrt(5)) = (2 sqrt(5))/(5)

E da relação fundamental temos que:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - (4)/(5)) = sqrt((1)/(5)) = (1)/(sqrt(5))

Que racionalizando fica:

cos alpha = (1)/(sqrt(5)) * (sqrt(5))/(sqrt(5)) = (sqrt(5))/(5)

Passo 2

Temos também que:

beta = a r c t g 3 = > t g beta = 3 e - (pi)/(2) < beta < (pi)/(2)

Logo:

s e n^2 beta = (t g^2 beta)/(1 + t g^2 beta) = (3^2)/(1 + 3^2) = (9)/(10) = > s e n beta = + sqrt((9)/(10)) = (3)/(sqrt(10))

Que racionalizando fica:

s e n beta = (3)/(sqrt(10)) * (sqrt(10))/(sqrt(10)) = (3 sqrt(10))/(10)

E da relação fundamental temos que:

cos beta = + sqrt(1 - s e n^2 beta) = sqrt(1 - (9)/(10)) = sqrt((1)/(10)) = (1)/(sqrt(10))

Que racionalizando fica:

cos beta = (1)/(sqrt(10)) * (sqrt(10))/(sqrt(10)) = (sqrt(10))/(10)

Da relação inicial teremos que:

s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) = s e n (alpha + beta) = s e n alpha * cos beta + s e n beta * cos alpha =

= (2 sqrt(5))/(5) * (sqrt(10))/(10) + (3 sqrt(10))/(10) * (sqrt(5))/(5) = (2 sqrt(50))/(50) + (3 sqrt(50))/(50) = (5 sqrt(50))/(50) = (sqrt(2 * 25))/(10) = (5 sqrt(2))/(10) = (sqrt(2))/(2)

Passo 3

Item b

Sabendo que:

cos (alpha - beta) = cos alpha * cos beta + s e n alpha * s e n beta

E fazendo:

alpha = a r c t g 2 e beta = a r c t g (1)/(2)

Da resolução do item a, já temos que:

s e n alpha = (2 sqrt(5))/(5) e cos alpha = (sqrt(5))/(5)

E teremos que:

beta = a r c t g (1)/(2) = > t g beta = (1)/(2) e - (pi)/(2) < beta < (pi)/(2)

Logo:

s e n^2 beta = (t g^2 beta)/(1 + t g^2 beta) = (((1)/(2))^2)/(1 + ((1)/(2))^2) = ((1)/(4))/(1 + (1)/(4)) = ((1)/(4))/((5)/(4)) = (1)/(5)

= > s e n beta = + sqrt((1)/(5)) = (1)/(sqrt(5))

Que racionalizando fica:

s e n beta = (1)/(sqrt(5)) * (sqrt(5))/(sqrt(5)) = (sqrt(5))/(5)

E da relação fundamental temos que:

cos beta = + sqrt(1 - s e n^2 beta) = sqrt(1 - (1)/(5)) = sqrt((4)/(5)) = (2)/(sqrt(5))

Que racionalizando fica:

cos beta = (2)/(sqrt(5)) * (sqrt(5))/(sqrt(5)) = (2 sqrt(5))/(5)

Passo 4

Da relação inicial teremos que:

cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) = cos (alpha - beta) = cos alpha * cos beta + s e n alpha * s e n beta =

= (sqrt(5))/(5) * (2 sqrt(5))/(5) + (2 sqrt(5))/(5) * (sqrt(5))/(5) = (2 sqrt(25))/(25) + (2 sqrt(25))/(25) = (10)/(25) + (10)/(25) = (20)/(25) = (4)/(5)

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

a ) (sqrt(2))/(2) ; b ) (4)/(5)

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