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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 7a

7. Calcule

a ) int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) . No nosso caso, precisamos substituir a = x . Temos então,

int cos^2 x d x = int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2)) d x

Passo 2

Agora precisamos lembrar que, int c d x = c x + k e int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Sendo c , a e k constantes. Logo,

int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2)) d x = (1)/(2) x + (1)/(2) * (sin 2 x)/(2) + k = (1)/(2) x + (sin 2 x)/(4) + k

Passo 3

Substituindo o intervalo de integração

int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x = (1)/(2) ((pi)/(8)) + (sin (2 (pi)/(8)))/(4) - (0 + (sin 0)/(2)) = (pi)/(16) + (sin ((pi)/(4)))/(4) = (pi)/(16) + ((sqrt(2))/(2))/(4) = (pi)/(16) + (sqrt(2))/(8)

Resposta

Portanto, temos que

int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x = (pi)/(16) + (sqrt(2))/(8)

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