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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 3e

e) int (cos^3 ( x ))/(s e n^7 ( x )) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = int (cos^3 ( x ))/(s e n^7 ( x )) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = c o s (x) d x

Isolando o fator cos ( x ) d x , temos:

int (cos^3 ( x ))/(s e n^7 ( x )) d x = int (c o s^2 (x))/(s e n^7 ( x )) * cos (x) d x

Como nossa substituição é u = s e n ( x ) , seria bom colocar o cos^2 ( x ) em função de u !!

Lá da trigonometria, temos:

s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1

Logo,

cos^2 ( x ) = 1 - u^2

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = int (c o s^2 (x))/(s e n^7 ( x )) * cos (x) d x

Indo para variável u :

I = int ((1 - u^2))/(u^7) d u = int (1 - u^2)/(u^7) d u

Quebrando em duas partes:

I = int (d u)/(u^7) - int (d u)/(u^5)

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Integrando, temos:

I = (u^(- 7 + 1))/(- 7 + 1) - (u^(- 5 + 1))/(- 5 + 1) + c

Fazendo as contas:

I = - (1)/(6 * u^6) + (1)/(4 * u^4) + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = - (1)/(6 * s e n^6 (x)) + (1)/(4 * s e n^4 ( x )) + c

Resposta

- (1)/(6 * s e n^6 (x)) + (1)/(4 * s e n^4 ( x )) + c

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