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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 8

8. Calcule int_0^(2 pi) sqrt(1 + cos x)

Passo 1

Oi, pessoal! Nessa integral temos um cosseno dentro da raiz que dificulta a nossa vida né? Então, a ideia aqui é usar uma identidade trigonométrica para deixar essa função com uma cara mais fácil de ser resolvida.

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) .

Aí você se pergunta: como vamos usar essa identidade se dentro da integral temos sqrt(1 + cos x) ?? Aí que ta, vamos arrumar ela e deixar parecida com o termo que temos dentro da integral :)

Começaremos colocando o (1)/(2) em evidência:

cos^2 x = (1)/(2) + (cos 2 x)/(2)

c o s^2 x = (1)/(2) (1 + cos 2 x)

2 c o s^2 x = 1 + cos 2 x

Ou seja, duas vezes o cosseno ao quadrado de um ângulo, no caso x , é igual 1 mais o cosseno do dobro desse ângulo

Dessa forma, temos que

2 c o s^2 ((x)/(2)) = 1 + cos x

Repara que chegamos a uma expressão parecida com a do enunciado. Vamos substituir isso dentro da integral e resolver essa questão!

Passo 2

Substituindo o que encontramos dentro da integral, temos:

int sqrt(1 + cos x) d x = int sqrt(2 cos^2 ((x)/(2))) d x

int sqrt(1 + cos x) d x = int sqrt(2 ) . sqrt(cos^2 ((x)/(2))) d x

Lembrando que c o s^2 (x) >= 0 , então a raiz do quadrado do cosseno tem que dar o módulo do cosseno:

int sqrt(1 + cos x) d x = int sqrt(2) |cos ((x)/(2))| d x

Removendo a constante:

int sqrt(1 + cos x) d x = sqrt(2) int |cos ((x)/(2))| d x

Passo 3

Agora vamos analisar a função cosseno, pois temos uma integral em que ele está com módulo:

cos (a) >= 0 p a r a 0 < a < (pi)/(2)

Ou seja, ele sempre vai ser positivo nesse intervalo.

cos (a) <= 0 p a r a (pi)/(2) < a < pi

Ou seja, ele sempre vai ser negativo nesse intervalo.

Então pro nosso argumento (x)/(2)

cos ((x)/(2)) >= 0 p a r a 0 < x < pi

cos ((x)/(2)) <= 0 p a r a pi < x < 2 pi

Então a nossa integral fica dividida em duas, uma para quando o cosseno é maior que 0 (positiva) e outra quando ele é menor (negativa).

int_0^(2 pi) sqrt(1 + cos x) = sqrt(2) int_0^(pi) cos ((x)/(2)) d x - sqrt(2) int_(pi)^(2 pi) cos ((x)/(2)) d x

Passo 4

Essa integral a gente sabe resolver, lembrando que

int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k

Então,

int_0^(2 pi) sqrt(1 + cos x) = (sqrt(2) (s e n ((x)/(2)))/((1)/(2)))_0^(pi) - (sqrt(2) (s e n ((x)/(2)))/((1)/(2)))_(pi)^(2 pi)

Aplicando os limites de integração,

int_0^(2 pi) sqrt(1 + cos x) = 2 sqrt(2) (s e n ((pi)/(2)) - s e n (0)) - 2 sqrt(2) (s e n (pi) - s e n ((pi)/(2)))

int_0^(2 pi) sqrt(1 + cos x) = 2 sqrt(2) (1 - 0) - 2 sqrt(2) (0 - 1)

int_0^(2 pi) sqrt(1 + cos x) = 4 sqrt(2)

Resposta

4 sqrt(2)

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