8. Calcule ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ x

Passo 1

Oi, pessoal! Nessa integral temos um cosseno dentro da raiz que dificulta a nossa vida né? Então, a ideia aqui é usar uma identidade trigonométrica para deixar essa função com uma cara mais fácil de ser resolvida.

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 .

Aí você se pergunta: como vamos usar essa identidade se dentro da integral temos 1 + cos ⁡ x ?? Aí que ta, vamos arrumar ela e deixar parecida com o termo que temos dentro da integral :)

Começaremos colocando o 1 2 em evidência:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

c o s 2 x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

2 c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x

Ou seja, duas vezes o cosseno ao quadrado de um ângulo, no caso x , é igual 1 mais o cosseno do dobro desse ângulo

Dessa forma, temos que

2 c o s 2 x 2 = 1 + cos ⁡ x

Repara que chegamos a uma expressão parecida com a do enunciado. Vamos substituir isso dentro da integral e resolver essa questão!

Passo 2

Substituindo o que encontramos dentro da integral, temos:

∫ 1 + cos ⁡ x d x = ∫ 2   cos 2 ⁡ x 2 d x

∫ 1 + cos ⁡ x d x = ∫ 2   . cos 2 ⁡ x 2 d x

Lembrando que c o s 2 x ≥ 0 , então a raiz do quadrado do cosseno tem que dar o módulo do cosseno:

∫ 1 + cos ⁡ x d x = ∫ 2 cos ⁡ x 2 d x

Removendo a constante:

∫ 1 + cos ⁡ x d x = 2 ∫ cos ⁡ x 2 d x

Passo 3

Agora vamos analisar a função cosseno, pois temos uma integral em que ele está com módulo:

cos ⁡ a ≥ 0   p a r a     0 < a < π 2

Ou seja, ele sempre vai ser positivo nesse intervalo.

cos ⁡ a ≤ 0   p a r a     π 2 < a < π

Ou seja, ele sempre vai ser negativo nesse intervalo.

Então pro nosso argumento x 2

cos ⁡ x 2 ≥ 0     p a r a       0 < x < π

cos ⁡ x 2 ≤ 0     p a r a       π < x < 2 π

Então a nossa integral fica dividida em duas, uma para quando o cosseno é maior que 0 (positiva) e outra quando ele é menor (negativa).

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ x = 2 ∫ 0 π cos ⁡ x 2 d x - 2 ∫ π 2 π cos ⁡ x 2 d x

Passo 4

Essa integral a gente sabe resolver, lembrando que

∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k

Então,

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ x = 2 s e n x 2 1 2 0 π - 2 s e n x 2 1 2 π 2 π

Aplicando os limites de integração,

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ x = 2 2 s e n π 2 - s e n 0 - 2 2 s e n π - s e n π 2

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ x = 2 2 1 - 0 - 2 2 0 - 1

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ x = 4 2

Resposta

4 2

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