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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.11 - Ex. 4

Calcule

int (2 t g x)/(2 + 3 cos x) d x

Passo 1

Bem, fazer a seguinte mudança de variavel:

u = cos x

d u = - sin x d x -> d x = - (d u)/(sin x)

Portanto temos:

int (2 t g x)/(2 + 3 cos x) d x = int (2 t g x)/(2 + 3 u) ( - (1)/(sin x) ) d u

Como t g x = (sin x)/(cos x)

int (2 t g x)/(2 + 3 u) (- (1)/(sin x)) d u = - 2 int (1)/(u ( 2 + 3 u )) d u

Usando frações parciais:

(1)/(u (2 + 3 u)) = (a)/(u) + (b)/(2 + 3 u) = (a (2 + 3 u) + b u)/(u (2 + 3 u))

{[[2 a = 1],[3 a + b = 0]])

{[[a = 1 // 2],[b = - 3 // 2]])

Dessa forma:

(1)/(u (2 + 3 u)) = (1)/(2 u) - (3)/(2 (2 + 3 u))

Então a integral fica:

- 2 int (1)/(u (2 + 3 u)) d u = int (3)/((2 + 3 u)) d u - int (1)/(u) d u

int (3)/((2 + 3 u)) d u - int (1)/(u) d u = ln (2 + 3 u) - ln u + c

Como u = c o s x :

int (2 t g x)/(2 + 3 cos x) d x = ln (2 + 3 cos x) - ln cos x + c

Resposta

int (2 t g x)/(2 + 3 cos x) d x = ln (2 + 3 cos x) - ln cos x + c

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Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ 2 x x 2 + 1 23d x ; u = x 2 + 1 b ∫ cos 3 ⁡ x ⋅ sin ⁡ xd x ; u = cos ⁡ x
Explique explique como a substituição u = a x + b ajuda a efetuar uma integração em que o integrando é f a x + b e f ( x ) é uma função fácil de integrar.
Explique a relação entre a regra da cadeia para a derivação e o método da substituição u para a integração.
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ cot ⁡ x csc 2 ⁡ x d x ; u = cot ⁡ x b ∫ 1 + sin ⁡ t 9 cos ⁡ td t ; u = 1 + sin ⁡ t
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ cos ⁡ x 3d x