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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 6j

Calcule

(j) int (1 - cos 2 x)^2 d x

Passo 1

Bom galera, nós vamos calcular essa integral int (1 - cos 2 x)^2 d x por substituição:

Fazemos:

u = 2 x

Derivando u temos que:

d u = 2 d x

=> (d u)/(2) = d x

Note que ficamos com:

(1)/(2) d u = d x

Esse (1)/(2) é constante, então já podemos “tirar fora” da integral e nossa integral fica da seguinte maneira:

(1)/(2) int (1 - cos (u))^2 d u

Passo 2

Agora, precisamos expandir o que está dentro essa integral:

(1 - cos (u))^2

Nos dá:

cos^2 u - 2 cos (u) + 1

Isso implica que:

(1)/(2) int ( cos^2 u - 2 cos ( u ) + 1 ) d u

Passo 3

Note que podemos separar essa integral termo a termos:

(1)/(2) int cos^2 (u) d u - int cos (u) d u + (1)/(2) int 1 d u

Vamos escrever o termo cos^2 (u) como (1)/(2) cos ( 2 u ) + (1)/(2) , isso implica que:

(1)/(2) int ((1)/(2) cos (2 u) + (1)/(2)) d u - int cos (u) d u + (1)/(2) int 1 d u

Passo 4

Então, podemos integrar termo por termo:

(1)/(4) int cos (2 u) d u + (3)/(4) int 1 d u - int cos (u) d u

E vamos utilizar substituição novamente para a integral de cos ( 2 u ) :

Fazemos s = 2 u , e então d s = 2 d u , isso implica que (d s)/(2) = d u :

(1)/(8) int cos (s) d s + (3)/(4) int 1 d u - int cos (u) d u

Passo 5

A integra de cos ( s ) é sen ( s ) , logo:

(s e n ( s ))/(8) + (3)/(4) int 1 d u - int cos (u) d u

A integral de 1 é u , logo:

(s e n ( s ))/(8) + (3 u)/(4) - int cos (u) d u

A integral de cos ( u ) é s e n ( u ) , logo:

(s e n ( s ))/(8) + (3 u)/(4) - s e n (u) + C

Não podemos esquecer de somar a constante no fim.

Passo 6

Agora vamos substituir os valores de volta, primeiro para s = 2 u :

(3 u)/(4) - s e n (u) + (1)/(8) s e n (2 u) + C

E depois para u = 2 x :

(3 x)/(2) - s e n (2 x) + (1)/(8) - s e n ( 4 x )

Arrumando um pouquinho:

(1)/(8) (12 x - 8 s e n (2 x) + s e n) 4 x ) ) + C

Resposta

(1)/(8) (12 x - 8 s e n (2 x) + s e n) 4 x ) ) + C

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